Re: [obm-l] Derivadas

[Fernando Henrique Ferraz <mentus@xxxxxx>]

Falai frizu..

   Eu prefiro a defini��o por tang�ncia, f�sica � um porre. Vamos l�. Dada uma 
fun��o f(x) cont�nua num intervalo [a,b]. Queremos aproximar essa fun��o por 
uma reta, digamos que por raz�es computacionai (� muito mais f�cil calcular 
uma express�o do tipo y = ax + b do que y = arctanh(x^n)/e^x).
    Vide figura em anexo. Dado um ponto (x0,f(x0)) = (x0,y0) pertencente ao 
gr�fico da f. Qual � a equa��o de uma reta que passa por esse ponto?
    r:   y - f(x0) = m(x-x0)
         y = f(x0) + m(x-x0)
         Reparemos que o lado direito da express�o, fixados x0 e m, depende 
somente de x, colocando em nota��o de fun��o:
         t(x) = f(x0) + m(x-x0)
         O que queremos fazer � trocar os valores de f(x) pelos valores dessa 
nova fun��o t(x). � f�cil notar que: t(x0) = f(x0) + m(x0-x0) = f(x0). E que 
lim [x -> x0] f(x) - t(x) = 0. (eq. 1)
          Ou seja, quando x se aproxima de x0, qualquer que for a reta que 
tomemos, nossa aproxima��o vai ter um erro cada vez mais pr�ximo de 0.
          A pergunta que se faz � a seguinte: qual dentre todas essas retas � 
a que melhor se aproxima de f(x)? Ou em outras palavras, existe m tal que:
       lim [x -> x0] (f(x) - t(x))/(x-x0) = 0   ? (eq 2.)
          Analisando essa express�o com mais cuidado: temos um quociente de 
dois n�meros indo para 0. Isso significa que o numerador � muito menor que o 
denominador. Mas n�s j� sabemos que o numerador tende a 0 quando x tende a x0  
(vide eq. 1), e que obviamente x-x0 tende a 0 quando x tende a x0. O que isso 
quer dizer � que o numerador est� tendendo a 0 muito mais rapidamente que o 
denominador, de forma que o erro que n�s cometemos ao aproximar f(x) por t(x) 
vai ser em m�dulo inferior a x-x0.
         Voltando a eq2, podemos rescreve-la voltando t(x):
        lim [x->x0] (f(x) - f(x0) - m(x-x0)) / (x-x0) = 0
        lim [x->x0] (f(x) - f(x0)) / (x-x0)   - m(x-x0)/(x-x0)) = 0
        lim [x->x0] (f(x) - f(x0) / (x-x0) - m) = 0
        Mas lim [x->x0] (f(x) - f(x0) / (x-x0) � por defini��o a derivada de 
f(x) em x0, logo:
         f'(x0) - m = 0 <=> m = f'(x0).
          Definimos ent�o y = f(x0) + f'(x0) (x-x0) como a *reta tangente* ao 
gr�fico de f em (x0,f(x0)), sendo ela a �nica reta que goza dessa 
propriedade. Logo, n�o s� a explica��o de derivadas por tang�ncia n�o � fraca 
como a *pr�pria defini��o* de tang�ncia vem das derivadas.
          Quando ao que voc� comentou sobre as fun��es trigonom�tricas, 
exponenciais, a derivada � um n�mero, que voc� calcula em um dado valor do 
dom�nio da fun��o. Ela por si s� n�o � a equa��o de reta, e sim o coeficiente 
angular da reta.
          Seja g(x) = sin(x). Qual � a reta tangente ao gr�fico de g(x) no 
ponto (pi/3,sin(pi/3)) ?
           y = g(pi/3) + g'(pi/3) (x - pi/3)
           y = sin(pi/3) + cos(pi/3) (x - pi/3)
           y  = 1/2 + sqrt(3)/2(x - pi/3).
           E o an�logo para as fun��es exponenciais e quaisquer outras, a 
derivada, se existe, � um n�mero.
           Quando estamos trabalhando com fun��es de duas ou mais var�aveis as 
coisas n�o mudam muito, o que se passa a definir � plano tangente, superficie 
tangente, etc, de forma parecida com que se defini a reta tangente.  

On Thursday 05 December 2002 11:17, Henrique P. Sant'Anna Branco wrote:
> Oi, pessoal!
> Tenho uma d�vida bem b�sica sobre derivadas: qual a defini��o da derivada?
> Podemos limitar apenas � reta tangente e taxa de varia��o?
> Explico o porqu� da minha pergunta... Me ocorreu que a identifica��o da
> derivada com a reta tangente n�o seria t�o correta assim, uma vez que as
> derivadas de fun��es trigonom�tricas e da exponencial n�o s�o equa��es de
> reta!

-- 
[]'s
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa

grafico1.eps