Re: [obm-l] Derivadas

[Fernando Henrique Ferraz <mentus@xxxxxx>]

Falai frizu..

   Eu prefiro a definição por tangência, física é um porre. Vamos lá. Dada uma 
função f(x) contínua num intervalo [a,b]. Queremos aproximar essa função por 
uma reta, digamos que por razões computacionai (é muito mais fácil calcular 
uma expressão do tipo y = ax + b do que y = arctanh(x^n)/e^x).
    Vide figura em anexo. Dado um ponto (x0,f(x0)) = (x0,y0) pertencente ao 
gráfico da f. Qual é a equação de uma reta que passa por esse ponto?
    r:   y - f(x0) = m(x-x0)
         y = f(x0) + m(x-x0)
         Reparemos que o lado direito da expressão, fixados x0 e m, depende 
somente de x, colocando em notação de função:
         t(x) = f(x0) + m(x-x0)
         O que queremos fazer é trocar os valores de f(x) pelos valores dessa 
nova função t(x). É fácil notar que: t(x0) = f(x0) + m(x0-x0) = f(x0). E que 
lim [x -> x0] f(x) - t(x) = 0. (eq. 1)
          Ou seja, quando x se aproxima de x0, qualquer que for a reta que 
tomemos, nossa aproximação vai ter um erro cada vez mais próximo de 0.
          A pergunta que se faz é a seguinte: qual dentre todas essas retas é 
a que melhor se aproxima de f(x)? Ou em outras palavras, existe m tal que:
       lim [x -> x0] (f(x) - t(x))/(x-x0) = 0   ? (eq 2.)
          Analisando essa expressão com mais cuidado: temos um quociente de 
dois números indo para 0. Isso significa que o numerador é muito menor que o 
denominador. Mas nós já sabemos que o numerador tende a 0 quando x tende a x0  
(vide eq. 1), e que obviamente x-x0 tende a 0 quando x tende a x0. O que isso 
quer dizer é que o numerador está tendendo a 0 muito mais rapidamente que o 
denominador, de forma que o erro que nós cometemos ao aproximar f(x) por t(x) 
vai ser em módulo inferior a x-x0.
         Voltando a eq2, podemos rescreve-la voltando t(x):
        lim [x->x0] (f(x) - f(x0) - m(x-x0)) / (x-x0) = 0
        lim [x->x0] (f(x) - f(x0)) / (x-x0)   - m(x-x0)/(x-x0)) = 0
        lim [x->x0] (f(x) - f(x0) / (x-x0) - m) = 0
        Mas lim [x->x0] (f(x) - f(x0) / (x-x0) é por definição a derivada de 
f(x) em x0, logo:
         f'(x0) - m = 0 <=> m = f'(x0).
          Definimos então y = f(x0) + f'(x0) (x-x0) como a *reta tangente* ao 
gráfico de f em (x0,f(x0)), sendo ela a única reta que goza dessa 
propriedade. Logo, não só a explicação de derivadas por tangência não é fraca 
como a *própria definição* de tangência vem das derivadas.
          Quando ao que você comentou sobre as funções trigonométricas, 
exponenciais, a derivada é um número, que você calcula em um dado valor do 
domínio da função. Ela por si só não é a equação de reta, e sim o coeficiente 
angular da reta.
          Seja g(x) = sin(x). Qual é a reta tangente ao gráfico de g(x) no 
ponto (pi/3,sin(pi/3)) ?
           y = g(pi/3) + g'(pi/3) (x - pi/3)
           y = sin(pi/3) + cos(pi/3) (x - pi/3)
           y  = 1/2 + sqrt(3)/2(x - pi/3).
           E o análogo para as funções exponenciais e quaisquer outras, a 
derivada, se existe, é um número.
           Quando estamos trabalhando com funções de duas ou mais varíaveis as 
coisas não mudam muito, o que se passa a definir é plano tangente, superficie 
tangente, etc, de forma parecida com que se defini a reta tangente.  

On Thursday 05 December 2002 11:17, Henrique P. Sant'Anna Branco wrote:
> Oi, pessoal!
> Tenho uma dúvida bem básica sobre derivadas: qual a definição da derivada?
> Podemos limitar apenas à reta tangente e taxa de variação?
> Explico o porquê da minha pergunta... Me ocorreu que a identificação da
> derivada com a reta tangente não seria tão correta assim, uma vez que as
> derivadas de funções trigonométricas e da exponencial não são equações de
> reta!

-- 
[]'s
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa

grafico1.eps