[obm-l] Re:

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Frederico,

Nao sei se e exatamente isso que voce quer, mas, vamos la.

Voce so precisa considerar numeros primos. Quanto ao maior primo a ser 
considerado, depende unicamente da quantidade de inteiros envolvidos. Vou 
falar sobre isso mais embaixo.

Eu estou sem tempo e vou apenas abordar uns casos particulares, por analogia 
de forma e de raciocinio voce completa o resto, falou ?

Sejam N1, N2, ..., Np os P inteiros. Suponhamos que Ni < Nj se i < J. O 
produto sera PROD=produtoria de (Nj-Ni), para todos (i,J) com  j > i.

Vamos agora  considerar o fator primo 2.

FATOR PRIMO 2. ( Vou fazer este detalhado, pra servir de modelo )

Claramente que cada Ni so pode ser congruo a 0 ou a 1 modulo 2, isto e, 
Ni==0(mod 2) ou Ni==1(mod2). Sejam A={x/x==0(mod2)} e B={x/x==1(mod2)}.E 
claro que A e B sao conjuntos disjuntos e que qualquer diferenca entre dois 
quaisquer dos inteiros N1, N2, ...,Np sera :

1) Uma diferenca entre dois elementos de A
2) Uma diferenca entre dois elementos de B
3) Uma diferenca entre um elemento de A e outro de B

Nos dois primeiros casos a diferenca sera divisivel por 2, no terceiro nao 
sera. Seja portanto Y o numero de elementos de A, o numero de elementos de B 
sera W. Claramente que Y+W=P.
Sendo assim o total de diferencas entre elementos de A sera BINOM(Y,2) e 
entre elementos de B sera BINOM(W,2). Cada uma destas diferencas sera 
multiplo de 2, com certeza, sendo portanto a quantidade minima de fatores 2, 
isto e :

S = BINOM(Y,2) + BINOM(W,2)

E o total de "fatores 2" que aparecem. Para nao ficarmos na dependencia dos 
inteiros escolhidos, tomamos o minimo de S, isto e :

EXP(2)=min{ BINOM(Y,2) + BINOM(W,2), Y+W=P }

EXP(2) e portanto o EXPOENTE do FATOR PRIMO 2 que sempre dividira o produto 
para quaisquer P inteiros escolhidos, dois a dois dintintos.

Veja que estou deixando pra voce a determinacao do minimo, que a parte mais 
simples da questao. Para o fator primo 3 voce vai proceder de forma analoga.

FATOR PRIMO 3

Para qualquer dos Ni, Ni==0(mod3) ou Ni==1(mod3) ou Ni==2(mod3). Sejam 
A={x/x==0(mod3), B=={x/x==1(mod3) e C=={x/x==2(mod3) e Y, W e V o numero de 
elmentos de cada um destes respectivos conjuntos. entao :

EXP(3)=min{ BINOM(Y,2) + BINOM(W,2)+ BINOM(V,2), Y+W+V=P }

E, como no caso anterior, EXP(3) e o expoente do FATOR PRIMO 3 do numero que 
dividira o produto para quaisquer P numeros inteiros escolhidos, dois a dois 
distintos.

Para os outros fatores primos proceda de forma semelhante.

Bom, aqui deve ter ficado claro pra voce que o maior numero natural que 
dividira o produto P independente da escolha dos Ni, desde que sejam 
inteiros distintos, sera :

D=(2^EXP(2))*(3^EXP(3))*...*(Pu^EXP(P)),   *=SINAL DE MULTIPLICACAO

Precisamos saber quem e "Pu", o ultimo numero primo a ser considerado.
Para ver como descobrir isso, considere que cada numero primo Q implica em 
calcular o minimo de uma soma da forma :

S=BINOM(V1,2)+BINOM(V2,2)+...+BINOM(Vq,2) com "q" parcelas e
com V1+V2+...+Vq=P, P=quantidade de inteiros dois a dois distintos.

Se esse minimo puder ser zero, entao o fator primo Q nao precisara, 
necessariamente, aparecer na decomposicao de D, o maior natural que sempre 
dividira PROD independe de quais P inteiros forem escolhidos, desde que dois 
a dois distintos.

Claramente que este primo Q sera O MAIOR PRIMO MENOR que P.

Se Q for maior ou igual a P entao podemos IMAGINAR uma solucao de 
V1+V2+...+Vq=P na qual cada parcela seja 1 ou ZERO, o que implica num minimo 
nulo, pois todos os BINOM(Vi,2) serao nulos, isto e, expoente sera zero e, 
portanto, o fator primo nao ira aparecer.

CONVENCOES :

BINOM(N,P)=N!/[P!*(N-P)!] se N >= P. Se N < P entao BINOM(N,P)=0.

V1+V2+...+Vq=P, Equacao de "q" variaveis cada uma delas um inteiro 
nao-negativo. Vr corresponde a quantidade de Ni's que deixam resto "r" 
quando divididos pelo primo Q.

Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1638,051202


>From: "fredericogomes" <fredericogomes@bol.com.br>
>To: p_ssr@hotmail.com
>Date: Thu,  5 Dec 2002 11:14:39 -0200
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>(1,1,1) ?
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>   Um Abraço, Fred.
>
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