Re: [obm-l] Re: PAs de ordens>1

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Alexandre Tessarollo" <tessa@mail.com>
>
>    Antes de mais nada, obrigado pelas respostas do N para os raios e de
todos que responderam às questões do somatório de x^2 e da PA de k-ésima
ordem. Gostaria de comentar a resposta do Domingos Jr. em particular:
>
> >>   Ou, mais genericamente, como se calcula a soma do n primeiros termos
de uma PA de 2a >>ordem, onde b[n+1]-b[n]=a[n], sendo a[n] o termo de uma PA
"normal"(de 1a ordem)? >>Naturalmente temos a[1], R e b[1].
> >
> >o somatório de 1 até n dos a[i] vai dar: n.a[1] + somatório{i = 1 até
n-1}[(n-i).b[i]]
> >
> >a1 = a1
> >a2 = a1 + b1
> >a3 = a1 + b1 + b2
> >...
> >an = a1 + b1 + b2 + ... + b[n-1]
> >a1 + a2 + ... + an = n.a1 + (n-1).b1 + (n-2)b2 + ... + b[n-1]
>
>    Ok, acho q vc assumiu que b[i] era a PA de primeira ordem e a[i] seria
a PA de segunda ordem. Considerando assim, está perfeitamente corrto o que
vc escreveu. Nos meus rascunhos eu tinha chegado exatamente até esse ponto.
O problema que eu tive foi expressar a soma da PA de 2a ordem em função
APENAS de a[1], b[1], n e R (razão da PA d 1a ordem).
>
>    Concordo que a sua resposta faz isso IMplicitamente, mas eu gostaria de
algo EXplícito.
>
>    Por analogia, poderíamos dizer que o somatório da PA de 1a ordem de
b[1] até b[n] pode ser escrito como S[n]=(b[1]+b[n])n/2, mas eu prefiro
expressar explicitamente, ou seja, S[n]=(2b[1]+(n-1)R)n/2.
>
>    Desculpem a falta de clareza anterior. Ah sim, ainda falta alguém se
manifestar quanto a generalização dessa pergunta, ou seja, como expressar o
somatório de uma PA de k-ésima ordem em função (explícita :-)) dos primeiros
termos de cada PA de ordem inferior?
>
> []'s
>
> Alexandre Tessarollo

Olá Tessarolo e demais participantes da discussão,

usando a informação que o Nicolau forneceu e usando um "truque" simples
sobre polinômios fica fácil de obter a resposta à sua pergunta. Para
simplificar vou calcular só a soma S(k) = 1^n + 2^n + ... + k^n (que não é
uma PA de ordem n generalizada, mas não é difícil generalizar). Seguindo a
informação que disse que usaríamos, S(k) é um polinômio de grau (n+1) na
variável k. Também é fácil de perceber que se S'(k) é outro polinômio de
grau (n+1) que coincide com S(k) em exatamente (n+2) pontos então S(k) =
S'(k) para todo k. Ok? Vamos encontrar então um polinômio S' de grau (n+1)
que coincide com S nos primeiros (n+2) valores de k.

Primeiro repare que se definirmos

S_0(k) = (k - 1)(k - 2)...(k - (n+1))
S_1(k) = k(k - 2)...(k - (n+1))
...
S_(n+1)(k) = k(k - 1)...(k - n)

cada S_i é um polinômio na variável k de grau (n+1) e eles tem a propriedade
que S_i(k) vale 0 para todo k = 0, 1, 2, ..., n+1 com execção ao k=i. Ora,
agora fica fácil de "normalizar" os polinômios S_i, dividindo-os por uma
constante, de forma que valha S_i(i) = 1. Compreendido até aqui?

Os termos da PA são S(0), S(1), S(2), ..., S(n+1), ...
Defina

S'(k) = S(0) * S_0(k) + S(1) * S_1(k) + ... + S(n+1)*S_(n+1)(k)

Pergunta: quanto vale S'(0) ? Cada termo S_i se anula com exceção ao
primeiro que vale S(0) * S_0(k) = S(0) * 1 = S(0). E assim sucessivamente. O
polinômio S' é de grau (n+1) e coincide com S nos n+2 primeiros valores de
k=0, 1, 2, ..., n+1. Segue que os dois polinômios são idênticos e a
expressão acima define explicitamente o valor da soma de qualquer termo da
PA. Esse método se chama de Interpolação de Lagrange, e está discutido em
muitos livros de Álgebra Linear e assuntos relacionados.

Existem também outras formas explícitas mais interessantes que essa.

Abraço,
Duda.


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