Re: [obm-l] PAs de ordens>1

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Outra maneira de resolver seria usando
o conceito de antidiferenças e polinômios
fatoriais.

Se f(k) = k^2 = k(k-1) + k = k^(2) + k, então
F(k) = k^(3)/3 + k^(2)/2 pois Delta F(k)=
k^(2) + k = f(k) (repare a analogia com a derivada).

Logo, S_n = sum_{k=1}^n f(k) = F(n+1) - F(1).

Como F(k) = k(k-1)(k-2)/3 + k(k-1)/2, resulta:

S_n = n(n+1)(2n+1)/6.

[]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
De: "Olimpiada Brasileira de Matematica" <obm@impa.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: sexta-feira, 22 de novembro de 2002 16:18
Assunto: Re: [obm-l] PAs de ordens>1


> At 09:55 AM 11/22/02 -0300, you wrote:
> >>    Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a
fórmula
> >de somatório de x^2, para x=1,2,..,n?
> Vc pode tentar fazer perturbacao no somatorio dos cubos, veja
>     n         n-1
> 1+ sum(k^3) = sum(k^3) + n^3
>    k=2        k=1
>
> Agora devemos alterar o somatorio para ficar com os mesmos indices
>     n-1         n-1
> 1+ sum(k+1)^3 = sum(k^3) + n^3
>    k=1          k=1
>    n-1         n-1        n-1     n-1     n-1
> 1+ sum(k^3) +3.sum(k^2)+3.sum(k)+ sum(1)= sum(k^3) + n^3
>    k=1         k=1        k=1     k=1     k=1
> agora cancela o somatorio de k^3 (tchaaaaaaaaaaaau), e você fica com
>   n-1
> 3.sum(k^2)=n^3-n-3.n(n-1)/2
>   k=1
>
> agora eh só trabalhar o lado direito que vc acha
>
> n(n+1)(2n-1)/6
> espero nao ter errado em conta
> abracos
> Marcelo
> >

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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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>

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