A demonstração mais simples que tem é usando o teorema de Liouville (acho q
é assim q se escreve)... no entanto conheço uma que usa o teorema de Green tb...
é mais legal, é claro :)
Nao me lembro mais quem me perguntou sobre isso,mas acho que ja esta na
hora de responder.E sobre a existencia de soluçoes complexas de polinomios em
C[z]
Para demonstrar o TFA,vou enunciar esses dois teoremas,que podem ser
demonstrados com a ajuda das formulas integrais de Cauchy.Depois eu falo disso
em outros e-mails.
TEOREMA DE ROUCHE:se em uma curva fechada C e sobre ela as funçoes f(z) e
g(z)sao analiticas,e |g(z)|<|f(z)| em C,temos que as funçoes g(z) e
f(z)+g(z) tem o mesmo numero de zeros em C(contando multiplicidades).
Agora considere as funçoes f(z)=polinomio de grau n-1,g(z)=z^n,e considere
a superficie C como sendo um circulo centrado na origem de raio R
suficientemente grande(maior que 1),de modo que |f(z)|/|g(z)|>1 em C.Para
encontrar esse raio R,use o fato de que em C nenhum complexo tem comprimento
maior que o raio.
Depois de demonstrar isso,basta ver que g(z) tem n zeros em C
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
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