Nao me lembro mais quem me perguntou sobre isso,mas acho que ja esta na hora de responder.E sobre a existencia de soluçoes complexas de polinomios em C[z]
Para demonstrar o TFA,vou enunciar esses dois teoremas,que podem ser demonstrados com a ajuda das formulas integrais de Cauchy.Depois eu falo disso em outros e-mails.
TEOREMA DE ROUCHE:se em uma curva fechada C e sobre ela as funçoes f(z) e g(z)sao analiticas,e |g(z)|<|f(z)| em C,temos que as funçoes g(z) e f(z)+g(z) tem o mesmo numero de zeros em C(contando multiplicidades).
Agora considere as funçoes f(z)=polinomio de grau n-1,g(z)=z^n,e considere a superficie C como sendo um circulo centrado na origem de raio R suficientemente grande(maior que 1),de modo que |f(z)|/|g(z)|>1 em C.Para encontrar esse raio R,use o fato de que em C nenhum complexo tem comprimento maior que o raio.
Depois de demonstrar isso,basta ver que g(z) tem n zeros em C
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
Fields Medal(John Charles Fields)