Re: [obm-l] z^z - mais perguntas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Nov 20, 2002 at 09:36:19PM -0400, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote:
> (1) Usando a mesma linguagem segundo a qual a expressão 
> 
> A = sqrt(B)
> 
> é lida como "A é igual à raiz quadrada de B", como ler a expressão
> 
> ln : C - {z in R, z <= 0} -> C   ?

A função ln tem como domínio o seguinte conjunto X de números complexos.
Todos os números complexos não reais pertencem a X;
os números reais estritamente positivos também pertencem a X;
o número 0 e os reais negativos não pertencem a X.
 
> (2) N diz "precisamos fazer um corte, como por exemplo ... ". Por que
> precisamos fazer um corte (ou por que "A função ln não pode ser definida
> assim: ln : C - {0} -> C") ?

Não existe uma função contínua f: C - {0} -> C satisfazendo
exp(f(z)) = z para todo z in C - {0}.

O problema é com a parte imaginária de ln z que é o argumento de z
pois se z = r e^(it) queremos definir ln(z) = ln(r) + it.
Não podemos definir continuamente o argumento pois quando damos
uma volta completa o argumento deve aumentar de 2 Pi e ficar constante
ao mesmo tempo o que é um absurdo.
 
> (3) A afirmação "precisamos fazer um corte, como por exemplo ... e escolhas
> diferentes do corte produzem valores diferentes para ln z" me deixa com a
> idéia de que eu posso escolher o corte que me convier, o que faz com que a
> função "ln z" não tenha uma definição única. É isso mesmo?

Para qualquer conjunto aberto e simplesmente conexo X contido em C
com 0 não pertencente a X e 1 pertence a X existe uma única função
contínua f: X -> C satisfazendo f(1) = 0 e exp(f(z)) = z para todo
z in X.

De novo a questão é definir continuamente o argumento.

> (4) Faz sentido dizer que um número complexo é positivo ou negativo? Se
> fizer, quando ele é positivo e quando é negativo?

Não existe nenhuma definição útil ou usual de número complexo positivo.
Para mim quando se escreve 'z > 0' o que se está dizendo implicitamente
é 'z é real e z > 0'.

> (5) Por favor sugiram livros onde eu possa encontrar respostas para este tipo
> de perguntas. Embora eu tenha estudado números complexos e trabalhado com
> eles - sou engenheiro eletrônico - não me lembro de ter sido exposto às
> definições e conceitos acima.

O Morgado já indicou dois livros excelentes,
o Churchill e o Ahlfors (Complex Analysis).
Um livro diferente que talvez interesse é o Henrici,
Applied and Computational Complex Analysis (3 vols).

[]s, N.
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