|
Ol� Pessoal.
Eu encontrei uma solu��o para a quest�o 3 do n�vel
3, e gostaria de saber se est� boa.
Quest�o 3. Numeramos os quadrados de um tabuleiro m
x n, onde m, n >=2 com os n�meros 1, 2, 3, ..., mn. Dois n�meros vizinhos
est�o em casas vizinhas (=casas com uma aresta em comum). Mostrar que existem um
n�mero i tal que i e i+3 est�o em casas vizinhas.
A minha id�ia foi construir um tabuleiro X,
m-1 x n-1 que liga o centro de duas casas vizinhas. Nesse tabuleiro
ligamos o segmento que une o centro de casas vizinhas, se elas possuem n�meros
consecutivos. Repare que no tabuleiro X formamos um caminho fechado que passa
por todos os v�rtices de seus quadrados. A primeira coisa agora � reparar que
n�o pode o tabuleiro X estar circundado por esse caminho, pois haveria nas
bordas uma seq��ncia i, i+1, i+2, i+3, ..., i , i+1, ... sempre crescente, uma
contradi��o. Portanto existe um buraco na borda de X. O argumento final. Sobre
cada ladinho do caminho levante uma parede, voc� vai formar um labirinto. Deixe
um rato (que n�o anda para tr�s) entrar por um dos buracos da borda. H� tr�s
possibilidades: (1) ele sai por outro buraco na borda, a� o caminho sobre X
teria duas partes separadas, o que n�o ocorre; (2) ele encontra um ciclo
infinito dentro do labirinto, e nunca sai dele, isso tamb�m n�o pode ocorrer
pois a parte de dentro e de fora desse ciclo estaria deconectando o caminho; (3)
ele chega num beco sem sa�da. Todo beco sem sa�da � caracterizado por um
quadradinho com uma parede faltando e as outras tr�s ocupadas, logo caracteriza
o caso i, i+3 vizinhos.
Abra�o,
Eduardo.
|