Re: [obm-l] Probabilidade

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: Wagner
>
>Oi para todos !
>
>      É possível descrever a probabilidade do evento abaixo em uma fórmula
apenas?
>
>    Uma caneta é girada por uma pessoa de forma aleatória. Os movimentos
possíveis da caneta são >meia volta para a esquerda e meia volta para a
direita. Qual a probabilidade de que após n >movimentos aleatórios a caneta
tenha feito pelo menos 2 voltas ou para esquerda ou para a direita
>(considere apenas o balanço final, ex: 2 voltas para esquerda e meia volta
para direita deve ser >considerado como uma volta e meia para a esquerda).
>
>    André T.

Caro André T.,
gosto dos problemas que você envia à lista, eu os considero muito criativos.

Este não parece ser difícil, mas é um pouco comprido.
Vamos considerar, para não ficar tratando de 1/2 em 1/2, que cada giro dá 1
volta para direita ou para a esquerda, i.e., acrescente +1 ou -1 às voltas
totais.
Queremos saber qual a probabilidade de a soma de n parcelas "+1" ou "-1"
retornar um dos números: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 (de 4 voltas à
esquerda à 4 voltas à direita).

Se no total dos n giros, d foram à direita, se terá n - d à esquerda. Vamos
separar em casos:

CASO o resultado final seja 4 (ou -4). A soma de d à direita com n - d à
esquerda (vezes -1) deve ser igual a 4, ou seja, d - (n - d) = 4 e d >=0 e
n - d >=0. Quantas são as possibilidades?
É preciso que 2d = 4 + n, ou seja, d = (4 - n)/2 que só é inteiro se n é
par.
Para que d >= 0 é preciso que n >= 4, n - d >= 0 vale também.
Deve-se ter, de um total de n escolhas, (4 - n)/2 para a direita e o resto à
esquerda. As possibilidades são
COMB(n ; (4-n)/2).

CASO o resultado final seja 3 (ou -3). De modo similar n >= 3 e precisa ser
ímpar, as possibilidades são
COMB(n ; (3-n)/2)

CASO seja 2 (ou -2), n>=2 par e há COMB(n ; (2-n)/2) possibilidades.

E geralmente

CASO seja i (ou -i), n>=1 deve ter a paridade de i e há COMB(n ; (i -n)/2)
possibilidades.

Portanto se n for PAR >=4 o número de possibilidades de acabar em -4,-2,0,2
ou 4 é
P(n) = 2*COMB(n ; (4-n)/2) + 2*COMB(n ; (2-n)/2) + COMB(n ; n/2).
Se n for ÍMPAR >=3 o número de possibilidades de acabar em -3,-1,1 ou 3 é
I(n) = 2*COMB(n ; (3-n)/2) + 2*COMB(n ; (1-n)/2)

Para n >= 3 temos a quantidade total de P(n) se n é par e I(n) se n é impar.

Como "juntar" essas fórmulas em uma só?
Um jeito artificial é o seguinte.
[(-1)^n + 1]/2 * P(n) - [(-1)^n - 1]/2 * I(n)

Eduardo.
Porto Alegre, RS.

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