[obm-l] Re: [obm-l] Problema 4 OBM universitária

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

 Sabemos que p(x)|q(x) sss toda raiz de p é tbm raiz de q. Logo, sendo p(x)=(x^2+x+1)^2
e q(x)= (x+1)^m + x^m + 1, temos q(w)=0, onde w=cis(2pi/3). Supondo m impar
nao divisivel por 3, teremos (w+1)^m + w^m + 1 = 0, donde -w^(2m) + w^m
+ 1=0 . Mas isso não pode ocorrer, visto que w^(2m) + w^m + 1 já é igual
a zero!
  Se m for ímpar, divisível por 3, teremos -w^(2m) + w^m + 1 igual a 1,
absurdo. Logo m é par.
  Se m é múltiplo de 3, teremos agora q(w)= w^(2m) + w^m + 1 = 3, absurdo.
Daí 3 náo divide m. Sendo assim, w^(2m) + w^m + 1 = (w^(3m) - 1)/(w^m -
1) = 0. Logo, q(w)=0, isto é, w já é raiz de q. Mas nós queremos que w seja
raiz dupla. Para isso devemos ter tbm q´(w)=0. Derivando, queremos m.(x
+ 1)^(m-1) + m.w^(m-1) = 0 sss (w + 1)^(m-1) + w^(m-1)= 0 sss  -w^[2(m-1)]
+ w^(m-1) = 0 ( pois m-1 é ímpar ) sss w^(m-1)=1, i.e., 3|(m-1) sss m =
6k-2, k natural.  

-- Mensagem original --

>Pessoal, consegui encontrar usando ajuda de um software 
>que para m = 4 + 6k o polinômio é divisível, se alguém 
>souber mostrar isso, gostaria de uma ajuda!
>
> PROBLEMA 4
>Determine todos os valores inteiros positivos de m para 
>os quais o polinômio (x+1)^m + x^m +1 é divisível por 
>(x^2 + x + 1)^2. 
>
> 
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[]'s, Yuri
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