Re: [obm-l] Um Estranho Sentimento ...

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Sep 15, 2002 at 03:06:01PM +0000, Paulo Santa Rita wrote:
> Em minha modesta investigacao pessoal eu me fiz estas perguntas abaixo, 
> inspirado sobretudo pela memoria original do Gauss sobre a Geometria 
> intrinseca das Superficies ... Parece que os Axiomas do Corpo Ordenado 
> Completo surgirao MUITO MAIS COMO UMA CONSTRUCAO para justificar os fatos 
> numericos que ja sabiamos, assim como a Geometria Euclidiana surgiu como uma 
> formalizacao dos fatos geometricos que os povos de entao ja usavam ... E 
> portanto so novos fatos e fenomenos, talvez de coerencia interna, nos 
> permitam olhar os axiomas do corpo como UMA FORMALIZACAO possivel, nao como 
> A FORMALIZACAO POSSIVEL ... Me parece que os fatos ...

Só tem vagamente a ver, mas acho que pode interessar. Os axiomas de corpo
ordenado completo (conforme apresentados, por exemplo, no livro do Elon
do projeto Euclides) são muito desiguais. Os axiomas de corpo ordenado
são axiomas no sentido de lógica de primeira ordem e dispensam outra
teoria anterior; dispensam até os números naturais ou inteiros. O axioma
da completude é algo totalmente diferente: ele diz que todo *conjunto*
de números reais satisfaz uma certa propriedade. Este último axioma
portanto pressupõe algum tipo de teoria de conjuntos. Ora, se você
tem uma teoria de conjuntos você pode construir o conjunto dos números
reais (e muito mais) e portanto não precisa de axiomas, precisa de uma
construção ou uma definição. Os axiomas a meu ver são mais corretamente
pensados como um teorema de caracterização e uma proposta pedagógica.
A proposta pedagógica é nunca usar em análise os detalhes da construção
dos reais (via cortes de Dedekind, seqüências de Cauchy ou outro recurso
similar qualquer) e sim apenas os "axiomas" ou suas conseqüências.

Vale aliás o mesmo para os naturais: o quinto axioma de Peano
fala de conjuntos de naturais.

[]s, N.


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