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Re: [obm-l] Um Estranho Sentimento ...
Ola FAJARDO e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Eu nao conheco o "Livro do Kunen", mas na compilacao a que lhe remeti quem
fala DETALHADAMENTE do conceito de forcar ( Forcing ) e um dos desbravadores
desta ideia, Paul Cohen. Muito provavelmente, um curso atual de divulgacao
nao tera toda a riqueza de ideias contida em uma exposicao inicial ...
>From: "Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Um Estranho Sentimento ...
>Date: Fri, 13 Sep 2002 21:12:40 +0000
>
>Olá, Paulo
>
> Quanto ao livro de lógica, ainda não tive tempo de estudá-lo, mas tenho
>participado de alguns seminários sobre forcing usando o livro de Kunen.
Em minha modesta investigacao pessoal eu me fiz estas perguntas abaixo,
inspirado sobretudo pela memoria original do Gauss sobre a Geometria
intrinseca das Superficies ... Parece que os Axiomas do Corpo Ordenado
Completo surgirao MUITO MAIS COMO UMA CONSTRUCAO para justificar os fatos
numericos que ja sabiamos, assim como a Geometria Euclidiana surgiu como uma
formalizacao dos fatos geometricos que os povos de entao ja usavam ... E
portanto so novos fatos e fenomenos, talvez de coerencia interna, nos
permitam olhar os axiomas do corpo como UMA FORMALIZACAO possivel, nao como
A FORMALIZACAO POSSIVEL ... Me parece que os fatos ...
1) Dois Corpos Ordenados Completos sao necessariamente isomorfos
2) Em todo Corpo Ordenado Completo existe uma "copia" do Naturais e de sua
Aritmetica
3) Existe mais de uma "construcao" dos numeros reais
Sao suficientes para suspeitarmos de sua incompletude ... Estas Ideias
Estranhas chegaram em virtude da reflexao que venho fazendo sobre uma
abordagem diferente do problema 3N+1, depois de ler um artigo do Coway sobre
o assunto.
> Parece que agora ficou mais claro para mim o que voce pensou. A respeito
>disso proponho a seguinte pergunta: se alguém com uma brilhante aptidão
>matemática, mas que nunca tinha ouvido falar de números reais nem de
>geometria, aprende os axiomas do corpo ordenado completo, sem nenhuma
>interpretação geométrica, que visão ele teria dos números reais? Será que,
>com o tempo, ele ia perceber por si só essa interpretação geométrica? Será
>que ia obter uma outra visualização?
>Será que, nessa visualização, iria enxergar coisas que nós não enxergamos?
>E por aí vai...
Concordo plenamente com o fragmento abaixo e considero-o uma observacao ( e
exposicao ) muito boa, tipicamente do estudante que ja atingiu um grau
avancado de compreensao e maturidade : salvo melhor juizo, me parece ser um
passo necessario para se viver e praticar a Alta Matematica ...
> Mas o fato de atribuirmos a certas estruturas matemáticas novas
>visualizações que nos permitem enxergar coisas que não enxergávamos, e que
>ajude a associarmos coisas aparentemente totalmente distintas, já ocorre
>com frequência na matemática e é bem interessante. Por exemplo, o fato de
>pensarmos em funções como elementos de espaço vetorial e utilizarmos
>produto interno dado pela integral (como fazemos na Análise Funcional), nos
>ajudou a descobrirmos um monte de resultados importantíssimos em equações
>diferenciais. No fundo, será que isso não é o que voce falou sobre achar
>uma nova visualização de uma teoria? Quem imaginava, antes de se criar a
>Álgebra Linear abstrata, que as funções podiam ser vistas como vetores,
>inclusive com a noção de ortogonalidade, e que isso fosse tão útil? O que
>fizemos não foi usar a geometria para visualizarmos algo que até então
>ninguém pensava haver qualquer relação com geometria? Acho isso um dos
>fenômenos mais maravilhosos da matemática. Voce cria definições abstratas
>que generalizam conceitos mais concretos e, apesar das dificuldades
>iniciais geradas pelo excesso de abstração, isso acaba facilitando nosso
>raciocínio, a posteriori, fazendo-nos associarmos fatos aparentemente
>independentes e usarmos resultados obtidos para um fim, em outro fim
>totalmente diferente, além de que, muitas vezes, é mais fácil enxergarmos
>coisas particulares quando estamos no geral (algo parecido com o que Polya
>chama de "paradoxo da invenção"). A topologia generaliza conceito de
>vizinhanças que herdamos da reta real, para que seja aplicada para diversos
>fins. Mas depois que a aprendemos, fica mais fácil descobrirmos coisas
>relativas à própria reta real e "limpar" o nosso raciocínio de informações
>irrelevantes para um determinado problema (por exemplo, ao invés de
>considerarmos aquela definição por epsilons e deltas de continuidade de
>função, usarmos que a imagem inversa de abertos é aberta pode ser mais
>útil, claro e "limpo").
Incrivel, nao ? Pessoas distintas, em locais distintos, comecarem a perceber
a mesma ideia ! E como se ela estivesse no ar ... E so fechar os olhos e
olhar serenamente para o Universo que se nos apresenta ... Ei-la ! Ai, valeu
maluco ! Foi muito estimulante para mim a sua mensagem. Obrigado !
> Com relação a essas coisas tenho pensado bastante, e creio que está
>relacionado com seu "estranho sentimento". De qualquer forma, essa é uma
>das coisas que mais me admira na Matemática.
Com os melhores votos
de Paz Profunda, sou
Paulo Santa Rita
1,1202,150902
>>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Um Estranho Sentimento ...
>>Date: Wed, 11 Sep 2002 15:24:22 +0000
>>
>>Ola ROGERIO FAJARDO e demais
>>colegas desta lista ... OBM-L,
>>
>>E entao Fajardo, tudo legal ?
>>Conseguiu o Livro de Logica-Matematica ?
>>
>>Eu sei que foram fatos geometricos e outros fenomenos cotidianos (divida
>>-> numero negativo, divisao de um objeto -> fracao, etc etc ) que nos
>>levaram a descoberta das diversas classes de numeros, "construidos"
>>posteriormente e hoje apresentados com o auxilio da abstracao matematica
>>...
>>
>>Colocar estes numeros em uma reta, porem, e uma construcao humana gratuita
>>... nao ha nenhum razao forte para tanto e os axiomas de um corpo ordenado
>>completo nao induzem, a priori, a nenhuma topologia particular ... O que
>>estes axiomas podem falar sobre disposicao ou configuracao ? Isso : Nada !
>>Nos poderiamos pensar sobre eles com igual correcao se os visualizassemos
>>sobre um ramo de parabola, por exemplo. ME PARECE, salvo melhor juizo, que
>>a unica exigencia que podemos fazer sobre uma possivel representacao e a
>>de continuidade ... E a continuidade, conforme todos nos sabemos, nao e
>>uma propriedade metrica.
>>
>>Bom, sendo assim, respeitados os axiomas de um corpo ordenado completo,
>>nos podemos pensar nos numeros reais como estando disposto de outra forma,
>>desde que esta estratificacao preserve a continuidade ... A questao e : e
>>vantajoso fazer isso ? e util ? Com esta imagem nos conseguiremos resolver
>>ou esclarecer algum fato que ainda nao foi resolvido ou esclarecido ? So
>>assim um mudanca ou inovacao e justificavel ...
>>
>>Nao sei se consegui ser claro, mas percebi que voce pensou seriamente
>>sobre a minha mensagem e nao supos que eu seja tao simplorio que nao
>>perceba sobre a gravidade e implicacoes do que estou falando ...
>>
>>Um abraco
>>Paulo Santa Rita
>>4,1223,110902
>>
>>
>>
>>
>>>From: "Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@hotmail.com>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Subject: Re: [obm-l] Um Estranho Sentimento ...
>>>Date: Wed, 11 Sep 2002 00:32:33 +0000
>>>
>>>Não compreendi bem o que voce quer dizer, mas me interessei por seu
>>>comentário. Pelo que entendi, voce quer saber se existe outra forma de
>>>visualizar, intuitivamente, os números, de forma a enxergar propriedades
>>>que são difíceis de enxergar com a visualização com as quais estamos
>>>acostumados. É isso ou nada a ver?
>>>
>>>O que eu percebo é que não é bem a geometria que serve para nos dar uma
>>>intuição dos números reais, mas os números reais surgiram para descrever
>>>a geometria de forma precisa. Não sei se isso tem algo a ver com seu
>>>e-mail. Detalhe-me mais o seu pensamento.
>>>
>>>
>>>>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>>Subject: [obm-l] Um Estranho Sentimento ...
>>>>Date: Mon, 09 Sep 2002 21:19:23 +0000
>>>>
>>>>Ola Pessoal e demais
>>>>colegas desta lista ... OBM-L,
>>>>
>>>>Eu tenho pensado continua e longamente em um conjunto de questoes
>>>>relacionadas que me levam, invariavelmente, a uma mesma direcao que nao
>>>>estou conseguindo acreditar ... ate parece que depois de tanto refletir
>>>>cheguei a alguma constatacao insana ou simploria demais ... Se algum
>>>>colega puder falar algo esclarecedor e/ou interessante eu ficarei muito
>>>>grato !
>>>>
>>>>Desde a infancia somos instados a pensar que os numeros reais estao
>>>>dispostos ao longo de uma linha reta. Nos dizemos : 3 < 5 ! E
>>>>imediatamente visualizamos o 3 a esquerda do 5, ambos em uma linha reta
>>>>! Por que nos pensamos assim ?
>>>>
>>>>E verdade que em cursos de analise os livros definem R como um corpo
>>>>ordenado completo e derivam as propriedades dos numeros reais dos
>>>>axiomas que definem esta estrutura, sem recorrer a qualquer propriedade
>>>>geometrica derivada de uma eventual visualizacao dos numeros sobre uma
>>>>reta ...
>>>>
>>>>Mas se, por um lado, os axiomas de um corpo ordenado completo nao
>>>>implicam ou requerem explicitamente uma estrutura geometrica conhecida,
>>>>e inegavel que a visualizacao "informal" que fazemos facilita muitos
>>>>raciocinio ... SERIA REALMENTE IMPOSSIVEL ASSOCIAR A UM CORPO ORDENADO
>>>>COMPLETO UMA GEOMETRIA, ATRAVES DE AXIOMAS OU OUTROS RECURSOS, DE FORMA
>>>>QUE PUDESSEMOS TER OUTRAS VISUALIZACOES, MESMO QUE ESTRANHAS, POREM,
>>>>CONMSISTENTES ? NAO PODERIAM ALGUMAS PROPRIEDADES NUMERICAS DEPENDEREM
>>>>INEXORAVELMENTE DE UMA TAL GEOMETRIA ?
>>>>
>>>>E bem provavel que eu esteja errado, mas nao consigo perceber o meu erro
>>>>... EU ACHO QUE CERTOS MAPEAMENTOS NUMERICOS REQUEREM OU IMPLICAM QUE
>>>>OS NUMEROS NATURAIS TEM UMA GEOMETRIA OU ESTRUTURA INTRINSECA, SEM A
>>>>QUAL NAO DA PRA COMPREENDER CERTAS COISAS ... E NECESSARIO OU POSTULAR
>>>>UMA DISPOSICAO ESTRATIGRAFICA OU SUPOR QUE CERTOS MAPEAMENTOS INDUZEM
>>>>UMA TAL ESTRATIFICACAO ...
>>>>
>>>>Bom, se alguem puder falar alguma coisa interessante sobre este tema eu
>>>>fico muito grato, pois este e realmente um SENTIMENTO ESTRANHO que me
>>>>tem ocorrido com alguma frequencia. Pode ser uma burrice momentanea que
>>>>esta me levando a estas perguntas aparentemente idiotas e sem sentido,
>>>>mas eu nao iria ocupar o tempo de voces, meus amigos, se nao tivesse
>>>>razoes seria pra fazer isso ...
>>>>
>>>>Um abraco a Todos
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