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owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune
Dirichlet
Sent: Monday, September 09, 2002 11:29 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] O car�ter n�o
enumer�vel de R
Eu acho que voce ta viajando demais.Enumeravel e o
conjunto com uma bijecao nos naturais.
Sim, mas, porque vc acha que eu estou viajando? Uma das provas de que R
n�o � enumer�vel baseia-se no fato de que ele cont�m conjuntos perfeitos e � um
espa�o m�trico completo. N�o h� nenhuma viagem nisso.
Os reais nao sao
enumeraveis pelo fato de que N*N*N************nao e enumeravel
����������� Vc se refere � expans�o deciuma dos
elementos de R.?
498 - Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> escreveu:
Um abra�o a todos os amigos deste grupo no qual acabei
de me inscrever!
O assunto que mencionei sempre me intriga um pouco. H� uma cl�ssica
demonstra��o de que R (o conjunto dos reais)n�o � numer�vel e que pode
ser encontrada na maioria dos livros sobre An�lise. Estas provas
baseiam-se no fato de que, nos espa�os euclidianos, conjuntos perfeitos n�o s�o
numer�veis. Logo, um ponto chave em tais provas � que os
elementos do espa�o s�o pontos de acumula��o do mesmo.
Sabemos que todo elemento de R � ponto de acumula��o. Mas, e este � o
ponto que me intriga, tal conclus�o depende da m�trica definida em R.
Na m�trica euclidiana usual tal fato � demonstrado (admitindo-se que R
seja completo). Mas, se tomarmos, por exemplo, a chamada m�trica
discreta (d(x,y)=1, se x<>y e d(x,y)=0 se x=y))ent�o nenhum elemento de
R (ou do espa�o m�trico em ! quest�o) � ponto de acumula��o. A provas que
conhe�o sobre a n�o enumerabilidade de R (que consistem em se construir
uma seq��ncia de intervalos fechados aninhados) n�o mais se aplicam na
m�trica discreta.
N�o me parece plaus�vel que um espa�o m�trico seja enumer�vel numa
m�trica (ou topologia) e n�o numer�vel em outra, mas ser� que existe
uma prova de que R (ou um espa�o m�trico qualquer) n�o � numer�vel a
qual seja independente da forma segundo a qual definamos seus conjuntos
abertos?
Artur
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