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[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Angelo Barone Netto Sent: To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma prova simples
para a seguinte afirmação Obrigado. Uma Linda e simples
prova! A demonstração que
eu tinha na cabeça, um tanto mais complicada que a sua, era a seguinte: escolha
uma base numerável {Bk} de Rn (sabemos que esta base certamente existe) e
defina W como a união de todos os Bk que contenham um número apenas finito de
elementos de A. Temos então que W inter A é numerável. Podemos facilmente
mostrar que W é o complementar de D, sendo D o conjunto dos pontos de
acumulação de A. Logo, para qualquer subconjunto A de Rn, o conjunto dos
elementos de A que não são pontos de acumulação do mesmo é numerável. Segue-se
que, se A não contiver pontos de acumulação, então A é numerável. Um aspecto interessante é que uma prova similar vale para pontos de
condensação. Se P é o conjunto dos pontos de condensação de A, então A inter
(complementar de P) é numerável. Se A não tem pontos de condensação, então A é numerável. No caso de pontos de condensação, a prova vale em qualquer espaço
topológico que possua uma base numerável (caso dos espaços métricos
separáveis). No caso de pontos de acumulação, creio que só vale se, além de
separável, o espaço for de Hausdorff, pois, caso contrário, vizinhanças de
pontos de acumulação de um conjunto podem conter um númro finito de elementos
do conjunto. Um abraço! Artur Caro Artur. Para cada ponto de A tome um aberto que so encontra A nesse ponto. Em cada um dos abertos tome um ponto com todas as coordenadas
racionais. Pronto. Ja de enumeravel. Angelo Barone{\ --\ }Netto
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