[obm-l] Re: [obm-l] O caráter não enumerável de R

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Sep 05, 2002 at 05:48:56PM -0300, 498 - Artur Costa Steiner wrote:
> Um abraço a todos os amigos deste grupo no qual acabei de me inscrever!
> 
> O assunto que mencionei sempre me intriga um pouco. Há uma clássica 
> demonstração de que R (o conjunto dos reais)não é numerável e que pode 
> ser encontrada na maioria dos livros sobre Análise. Estas provas  
> baseiam-se no fato de que, nos espaços euclidianos, conjuntos perfeitos 
> não são numeráveis. Logo, um ponto chave em tais provas é que os 
> elementos do espaço são pontos de acumulação do mesmo.
> 
> Sabemos que todo elemento de R é ponto de acumulação. Mas, e este é o 
> ponto que me intriga, tal conclusão depende da métrica definida em R. 
> Na  métrica euclidiana usual tal fato é demonstrado (admitindo-se que R 
> seja completo). Mas, se tomarmos, por exemplo, a chamada métrica 
> discreta (d(x,y)=1, se x<>y e d(x,y)=0 se x=y))então nenhum elemento de 
> R (ou do espaço métrico em questão) é ponto de acumulação. A provas que 
> conheço sobre a não enumerabilidade de R (que consistem em se construir 
> uma seqüência de intervalos fechados aninhados) não mais se aplicam na 
> métrica discreta.
> 
> Não me parece plausível que um espaço métrico seja enumerável numa 
> métrica (ou topologia) e não numerável em outra, mas será que existe 
> uma prova de que R (ou um espaço métrico qualquer) não é numerável a 
> qual seja independente da forma segundo a qual definamos seus conjuntos 
> abertos?

De fato, o fato de um conjunto ser ou n~ao enumer'avel independe
da m'etrica, topologia, ou de qualquer outra estrutura:
depende apenas do conjunto. Considere o seguinte teorema/demonstra,c~ao:

Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A.
Ent~ao toda fun,c~ao de A em P(A) 'e n~ao sobrejetora.

De fato, 

X = { x in A | x n~ao pertence a f(x) }

se X = f(x) temos

x pertence a X  <==> x n~ao pertence a X

um absurdo.

Isso demonstra que o conjunto das partes de um conjunto infinito
'e sempre n~ao-enumer'avel. Mas podemos criar uma c'opia de P(N)
(partes de N, o conjunto dos naturais) dentro de R, basta representar
cada subconjunto de N pela cadeia infinita correspondente de 0 e 1,
interpretada como uma expans~ao decimal infinita.

'E bem verdade que o que eu acabo de construir 'e um conjunto de Cantor,
mas n~ao usei a m'etrica de R...

[]s, N.
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