Re: [obm-l] Grau 4

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Daniel e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Seja aX^3 + bX^2 + cX + d = 0 uma equacao do 3 grau. Usando a transformacao 
aditiva Y=X+K, isto e, substituindo todos os X da equacao por X=Y-K, voce 
vai recair numa equacao do 3 grau em Y.

Os coeficientes desta ultima equacao serao funcoes de "K". Imponha que o 
coeficiente do termo em X^2 seja zero. Isso vai permitir a voce encontrar 
"K" e reduzir a equacao a forma :

eX^3 + fX + g = 0

dividindo tudo por "e", chegaremos a uma equacao da forma :

X^3 + pX + q = 0

Tudo significa dizer que resolvendo a equacao acima voce tera resolvido a 
equacao geral do terceito grau. Para resolve-la, seja :

X = A+B  => X^3 = A^3 + 3(A^2)B + 3A(B^2) + B^3
X^3 = 3AB(A+B) + A^3 + B^3 como A+B=X
X^3 = 3ABX + A^3 + B^3
X^3 - 3ABX -(A^3+B^3) = 0

Daqui tiramos que :

p = -3AB => AB=-p/3 => (AB)^3=-(p/3)^3
q = -(A^3 + B^3) => A^3 + B^3 = -q

Fazendo A^3=u e B^3=v

uv=-(p/3)^3
u+v=-q

logo : u(-q-u)=-(p/3)^3 => u(u+q)=(p/3)^3
u^2 + qu -(p/3)^3=0

logo : u= [ -q +- raiz_2(q^2 + 4(p/3)^3) ]/2
introduzindo o 2 no radical :
u=(-q/2) +- raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ]

se voce usar o sinal posivito para "u", obtera "v" com o negativo e 
reciprocamente. Podemos, portanto, por :

u=(-q/2) + raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] e
v=(-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ]

Mas A^3=u => A=raiz_3{ (-q/2) + raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] } e
B^3=v => B=raiz_3{ (-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] }

Como X=A+B, segue que :

X = raiz_3{ (-q/2) + raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] } +
raiz_3{ (-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] }

Chamando (q/2)^2 + (p/3)^3 = DELTA

X = raiz_3[(-q/2)+ raiz_2(DELTA)] + raiz_3[(-q/2)-raiz_2(DELTA)]

Essa e a formula de Tartaglia. O DELTA, tambem chamado de discriminante, e 
tao importante para as equacoes do 3 grau como o seu homonimo e para as do 2 
graus. Em particular :

DELTA < 0 => tres raizes reais e distintas.
DELTA = 0 => ao  menos duas raizes iguais
DELTA > 0 => uma unica raiz real.

Vemos que so tem sentido usar estas expressoes em conjuncao com os numeros 
complexos, que justamente tratam dos assuntos mais interessantes...

Como voce ve, nao e nada espantoso a deducao destas formulas e podemos com 
tranquilidade mudar o percurso em varios pontos de descobrir varias outras 
maneiras de expor a solucao. Qualquer uma e valida. E para um Matematico do 
seculo XV ou XVI isto poderia ser considerado um grande feito ...

Bom, agora, usando este fato, seja :

ax^4 + bX^3 + cX^2 + dX + e=0
Usando a transformacao aditiva Y=X+L, isto e, substituindo X=Y-L voce tera 
uma equqcao do 4 grau em Y. os coeficientes serao funcao de L. Imponha que o 
termo em Y^3 seja zero, isto dara uma equacao da forma :

fX^4 + gX^2 + hX + i=0
coloque assim :
fX^4 + gX^2 = -hx -i
Agora introduza duas variaveis ( grandezas desconhecidas ) M e N :
fX^4 + MX^2 + gX^2 + N = MX^2 - hX + N - i
fX^4 + (M+g)X^2 + N = MX^2 - hX + (N - i)
E diga : Esses dois trinomioas serao quadrados perfeitos se os seus 
discriminantes forem nulos. Isto vai fornecer o sistema :

(M+g)^2 - 4fN=0
h^2 - 4M(N-i)=0

Na primeira : N = [(M+g)^2]/4f. Colocando isso na segunda :

h^2 - 4M{[(M+g)^2]/4f  - i}=0
Aqui esta ! Voce agora tem uma equacao do 3 grau em M, pois os outros 
valores sao todos conhecidos. Calculando M pela formula que vimos acima 
deduzimos imediatamente o N, usando N = [(M+g)^2]/4f.

Para cada M e N que satisfaz o sistema, a equacao :

fX^4 + (M+g)X^2 + N = MX^2 - hX + (N - i)

Se transforma em dois trinomios quadrados perfeitos. A extracao das raizes 
vai gerar duas equacoes do 2 grau, cada uma, a priori, com 2 raizes. Isso 
implica em 12 raizes ! Calma ! Elas estarao duplicadas : no final voce vai 
encontrar apenas as quatro raizes da equacao do 4 grau.

Como voce ve, nao e nada muito dificil. Tanto e assim que eu pude colocar 
tudo numa mensagem despretensiosa como essa : e apenas burocracia e 
malabarismo.

Exercicio : Sintetizando ou Extendendo alguns dos passos acima, descubra 
novas formas de resolucao para estas equacoes.

Um Grande Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
6,1954,230802

>   Daniel <costafdaniel@ig.com.br> escreveu:                 Olá a todos,   
>                    Gostaria de saber qual a fórmula resolutiva de equações 
>de grau 4 completa, em função dos coeficientes:                     ax^4 + 
>bx^3 + cx^2 + dx + e = 0                             x = ? Daniel  CARA,SUA 
>PERGUNTA MATA!Esse problema e pesadinho.Ja vi a soluçao do Gugu para a de 
>terceiro grau.Quando eu tiver paciencia,escrevo.
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