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Re: [obm-l] Grau 4
So uma observaçao boba. a formula que resolve a de teceiro grau eh
conhecida como formula de Cardano.
Morgado
Paulo Santa Rita wrote:
> Ola Daniel e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> Seja aX^3 + bX^2 + cX + d = 0 uma equacao do 3 grau. Usando a
> transformacao aditiva Y=X+K, isto e, substituindo todos os X da
> equacao por X=Y-K, voce vai recair numa equacao do 3 grau em Y.
>
> Os coeficientes desta ultima equacao serao funcoes de "K". Imponha que
> o coeficiente do termo em X^2 seja zero. Isso vai permitir a voce
> encontrar "K" e reduzir a equacao a forma :
>
> eX^3 + fX + g = 0
>
> dividindo tudo por "e", chegaremos a uma equacao da forma :
>
> X^3 + pX + q = 0
>
> Tudo significa dizer que resolvendo a equacao acima voce tera
> resolvido a equacao geral do terceito grau. Para resolve-la, seja :
>
> X = A+B => X^3 = A^3 + 3(A^2)B + 3A(B^2) + B^3
> X^3 = 3AB(A+B) + A^3 + B^3 como A+B=X
> X^3 = 3ABX + A^3 + B^3
> X^3 - 3ABX -(A^3+B^3) = 0
>
> Daqui tiramos que :
>
> p = -3AB => AB=-p/3 => (AB)^3=-(p/3)^3
> q = -(A^3 + B^3) => A^3 + B^3 = -q
>
> Fazendo A^3=u e B^3=v
>
> uv=-(p/3)^3
> u+v=-q
>
> logo : u(-q-u)=-(p/3)^3 => u(u+q)=(p/3)^3
> u^2 + qu -(p/3)^3=0
>
> logo : u= [ -q +- raiz_2(q^2 + 4(p/3)^3) ]/2
> introduzindo o 2 no radical :
> u=(-q/2) +- raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ]
>
> se voce usar o sinal posivito para "u", obtera "v" com o negativo e
> reciprocamente. Podemos, portanto, por :
>
> u=(-q/2) + raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] e
> v=(-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ]
>
> Mas A^3=u => A=raiz_3{ (-q/2) + raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] } e
> B^3=v => B=raiz_3{ (-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] }
>
> Como X=A+B, segue que :
>
> X = raiz_3{ (-q/2) + raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] } +
> raiz_3{ (-q/2) - raiz_2[(q/2)^2 + (p/3)^3 ] }
>
> Chamando (q/2)^2 + (p/3)^3 = DELTA
>
> X = raiz_3[(-q/2)+ raiz_2(DELTA)] + raiz_3[(-q/2)-raiz_2(DELTA)]
>
> Essa e a formula de Tartaglia. O DELTA, tambem chamado de
> discriminante, e tao importante para as equacoes do 3 grau como o seu
> homonimo e para as do 2 graus. Em particular :
>
> DELTA < 0 => tres raizes reais e distintas.
> DELTA = 0 => ao menos duas raizes iguais
> DELTA > 0 => uma unica raiz real.
>
> Vemos que so tem sentido usar estas expressoes em conjuncao com os
> numeros complexos, que justamente tratam dos assuntos mais
> interessantes...
>
> Como voce ve, nao e nada espantoso a deducao destas formulas e podemos
> com tranquilidade mudar o percurso em varios pontos de descobrir
> varias outras maneiras de expor a solucao. Qualquer uma e valida. E
> para um Matematico do seculo XV ou XVI isto poderia ser considerado um
> grande feito ...
>
> Bom, agora, usando este fato, seja :
>
> ax^4 + bX^3 + cX^2 + dX + e=0
> Usando a transformacao aditiva Y=X+L, isto e, substituindo X=Y-L voce
> tera uma equqcao do 4 grau em Y. os coeficientes serao funcao de L.
> Imponha que o termo em Y^3 seja zero, isto dara uma equacao da forma :
>
> fX^4 + gX^2 + hX + i=0
> coloque assim :
> fX^4 + gX^2 = -hx -i
> Agora introduza duas variaveis ( grandezas desconhecidas ) M e N :
> fX^4 + MX^2 + gX^2 + N = MX^2 - hX + N - i
> fX^4 + (M+g)X^2 + N = MX^2 - hX + (N - i)
> E diga : Esses dois trinomioas serao quadrados perfeitos se os seus
> discriminantes forem nulos. Isto vai fornecer o sistema :
>
> (M+g)^2 - 4fN=0
> h^2 - 4M(N-i)=0
>
> Na primeira : N = [(M+g)^2]/4f. Colocando isso na segunda :
>
> h^2 - 4M{[(M+g)^2]/4f - i}=0
> Aqui esta ! Voce agora tem uma equacao do 3 grau em M, pois os outros
> valores sao todos conhecidos. Calculando M pela formula que vimos
> acima deduzimos imediatamente o N, usando N = [(M+g)^2]/4f.
>
> Para cada M e N que satisfaz o sistema, a equacao :
>
> fX^4 + (M+g)X^2 + N = MX^2 - hX + (N - i)
>
> Se transforma em dois trinomios quadrados perfeitos. A extracao das
> raizes vai gerar duas equacoes do 2 grau, cada uma, a priori, com 2
> raizes. Isso implica em 12 raizes ! Calma ! Elas estarao duplicadas :
> no final voce vai encontrar apenas as quatro raizes da equacao do 4 grau.
>
> Como voce ve, nao e nada muito dificil. Tanto e assim que eu pude
> colocar tudo numa mensagem despretensiosa como essa : e apenas
> burocracia e malabarismo.
>
> Exercicio : Sintetizando ou Extendendo alguns dos passos acima,
> descubra novas formas de resolucao para estas equacoes.
>
> Um Grande Abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 6,1954,230802
>
>> Daniel <costafdaniel@ig.com.br> escreveu: Olá a
>> todos, Gostaria de saber qual a fórmula
>> resolutiva de equações de grau 4 completa, em função dos
>> coeficientes: ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e =
>> 0 x = ? Daniel CARA,SUA PERGUNTA
>> MATA!Esse problema e pesadinho.Ja vi a soluçao do Gugu para a de
>> terceiro grau.Quando eu tiver paciencia,escrevo.
>>
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