[obm-l] problema de analise real

["Eric Campos Bastos Guedes" <mathfire@xxxxxxxxx>]

Saudacoes aos companheiros da lista

Estou ha muito tempo tentando resolver o seguinte problema:

Problema - Seja f(x) uma funcao real e continua. Se nao existe um intervalo
onde f(x) e uma função afim, demonstre que para quaisquer numeros a e b a
equacao f(x) = ax + b tem nao mais que uma quantidade enumeravel de
solucoes.

Parece que nao estou chegando onde quero, talvez por nao estar sabendo usar
de modo conveniente a hipotese (0) do esboco de solucao abaixo, que supoe
que S e' nao enumeravel. De qualquer modo descobri algumas relacoes
envolvendo o conjunto S. No esboco abaixo, uso 4 lemas que sao exercicios
dos livros de analise real do Elon, com excecao do LEMA 2, que nao foi
dificil provar. Tambem uso varios teoremas dos livros de Analise Real de
Elon. O esboco de solucao esta' abaixo mas esta' incompleto e acredito mesmo
que haja um modo bem mais rapido de resolver esse problema. Por favor, quem
tiver alguma familiaridade com Analise me de uma dica de como posso resolver
o problema. O esboco, ate' onde foi feito, esta' "bem estruturado", mas
talvez tenha la' uma ou outra pequena falha.

Um grande abrac,o...

ESBOCO DE SOLUCAO

(0) SUPONHA POR ABSURDO: S e' nao enumeravel
(1) HIPOTESE: Seja f uma funcao real e continua
(2) Sejam a e b certos reais pre'-fixados
(3) Seja g(x) = f(x) - ax - b
(4) Seja S o conjunto de solucoes de g(x) = 0
(5) HIPOTESE: Nao existe um intervalo contido em S
(6) NOTACAO: Seja X contido em R, representemos
a. O interior de X por int(X)
b. A fronteira de X por fr(X)
c. O fecho de X por fecho(X)
d. R o conjunto dos numeros reais
e. { } o conjunto vazio
(7) TEOREMA: R = int(S) uniao fr(S) uniao int(R - S)
(8) int(S) = { } (conforme (5))
(9) SUPONHA POR ABSURDO: S nao e' fechado
(10) Existe p em fecho(S) - S
(11) Existe uma sucessao (x_n) de pontos de S convergindo para p (conforme
(10))
(12) TEOREMA: "Seja h uma funcao real e continua e seja (y_n) uma sucessao
que converge para t. Entao a sucessao (h(y_n)) converge para h(t)"
(13) A sucessao (g(x_n)) converge para g(p) (conforme (11) e (12))
(14) g(p) e' diferente de 0 (pois p nao pertence a S conforme (10))
(15) Para todo n, g(x_n) = 0 (pois x_n esta' em S, conforme (11))
(16) (g(x_n)) converge para 0 (conforme (15))
(17) g(p) = 0 (conforme (13) e (16))
(18) ABSURDO (conforme (14) e (17))
(19) S e' fechado (conforme (9) e (18))
(20) TEOREMA: "Se X esta' contido em R entao X e' fechado se e so se seu
complementar for aberto"
(21) R - S e' aberto (conforme (19) e (20))
(22) int(R - S) = R - S (conforme (21))
(23) R = fr(S) uniao (R - S) (conforme (7), (8) e (22))
(24) S esta' contido em fr(S) (conforme (23))
(25) SUPONHA POR ABSURDO: S e' diferente de fr(S)
(26) Existe p em fr(S) - S (conforme (24) e (25))
(27) Existe uma sucessao (x_n) de pontos de S convergindo para p
(28) Para todo n, g(x_n) = 0 (pois x_n pertence a S conforme (27))
(29) A sucessao (g(x_n)) converge para 0 (conforme (28))
(30) A sucessao (g(x_n)) converge para g(p) (conforme (27) e (12))
(31) g(p) e' diferente de 0 (pois p nao pertece a S, conforme (26))
(32) A sucessao ((g(x_n)) converge para um valor diferente de 0 (conforme
(30) e (31))
(33) ABSURDO (conforme (29) e (32))
(34) S = fr(S) (conforme (25) e (33))
(35) LEMA 1: Se X esta' contido em R, entao fecho(X) = X uniao fr(X)
(36) LEMA 2: Todo ponto de R - S e' ponto de acumulacao
(37) LEMA 3: Se X esta' contido em R entao R - fecho(X) = int(R - X)
(38) LEMA 4: Se X esta' contido em R entao X' (o derivado de X) e' fechado
(39) R - S esta' contido em (R - S)' (conforme (36))
(40) SUPONHA POR ABSURDO: R - S = (R - S)'
(41) R - S e' fechado (conforme (38) e (40))
(42) S e' aberto (conforme (20))
(43) S e' aberto e fechado (conforme (19) e (42))
(44) TEOREMA: "Os unicos subconjuntos de R simultaneamente abertos e
fechados sao R e { }"
(45) Ou S = R ou S = { }
(46) S e diferente de R (conforme (5))
(47) S e diferente de { } (conforme (0))
(48) S e diferente de  { } e de R
(49) ABSURDO (conforme (45) e (48))
(50) Existe p em (R - S)' - (R - S) (conforme (39), (40) e (49))
(51) TEOREMA: "Se X e' subconjunto de R com interior vazio, entao R - X e'
denso em R"
(52) S tem interior vazio (conforme (5))
(53) R - S e' denso em R (conforme (51) e (52))
(54) fecho(R - S) = R (conforme (53))
(55) TEOREMA: "Se X e' subconjunto de R entao fecho(X) = X uniao X'
(derivado de X)"
(56) (R - S) uniao (R - S)' = fecho(R - S) = R (conforme (54) e (55))
(57) S esta' contido em (R - S)'
(58) (R - S)' = R (conforme (39) e (57))
(59) Todo ponto e' ponto de acumulaçao de R - S (conforme (58))
(60) (....)

A partir daqui, basta chegar numa contradicao....


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Eric Campos Bastos Guedes
mathfire@ig.com.br
Brasil - RJ - Niteroi
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www.primeformulas.hpg.com.br

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