Re: [obm-l] CRUEL

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 01:54 15/08/02 -0300, you wrote:
>From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
> > At 17:17 14/08/02 -0300, you wrote:
> > >From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
> > > > At 12:21 14/08/02 -0400, you wrote:
> > > > >Num polígono convexo de n lados, quando se constrói todas as
>diagonais
> > > > >aparecem  pontos de interseção entre as diagonais. Determinar o
>número de
> > > > >pontos de interseção?
> > > >
> > > > Vamos supor que não há duas diagonais paralelas.
> > > >
> > > > Note que a cada ponto de intersecção podemos associar as duas
>diagonais ou
> > > > o quadrilátero formado pelos extremos destas diagonais. Logo há uma
> > >bijeção
> > > > entre o número de intersecções e o de quadriláteros com vértices
>contidos
> > > > no conjunto de vértices do poligono...logo a resposta é binomial(n,4).
> > > >
> > > > Está certo?
> > > >
> > > > Bruno Leite
> > > > http://www.ime.usp.br/~brleite
> > >
> > >Mas e se dois quadriláteros distintos tiverem o mesmo ponto de interseção
> > >das suas diagonais? Ou isso nunca ocorre por que nenhuma das diagonais é
> > >paralelas, por hipótese sua?
> >
> > Bem, isto que vc disse nao segue da hipótese que eu coloquei (veja o
> > octógono regular) mas é também uma hipotese necessária para que o problema
> > não dependa da forma particular do poligono
> > (dependa só de n)
> >
>
>Bruno,
>
>eu não compreendi toda a discussão. Então vou recomeçá-la.
>
>Num polígono de n lados, cujos pares de diagonais não são paralelos, existe
>uma bijeção entre o número de interseções e o de quadriláteros com vértices
>contidos no conjunto de vértices do poligono.
>
>A minha pergunta deveria ter sido a seguinte: por que, sob essas hipóteses
>(de o polígono ser convexo e nenhum par de diagonais ser paralelo), não
>existem dois quadriláteros distintos com vértices contidos no conjunto de
>vértices do polígono cujos pontos de interseção das diagonais são o mesmo
>ponto?


desculpe, acho que não fui claro. No meu último email, eu quis dizer que 
concordo com vc, e que sua observação está certa. OU seja: "polígono 
convexo + nenhum par de diagonais paralelo" não implica  "não existem dois 
quadriláteros distintos com vértices contidos no conjunto de
vértices do polígono cujos pontos de interseção das diagonais coincidem", e 
até dei o exemplo do octógono regular (que está errado, só vi agora...pois 
tem diagonais paralelas...dã) mas a sua figura está ok.

Por isso é preciso colocar mais uma hipótese: "os pontos de encontros das 
diagonais de quadriláteros diferentes não coincidem". Sem esta hipótese, a 
resposta nao depende só de n, mas tb do formato do poligono.

Será que eu entendi o que vc pensou direito?

Bruno


>Vai em anexo uma figura.
>
>Em FIG 1: AE, BF, CG e DH são diâmetros. O problema do polígono ABCDEFGH é
>que muitas das diagonais são paralelas.
>
>Eu ACHO que trazendo A, B, C e D um pentelhésimo (em FIG 2) para dentro do
>círculo, a gente pode fazer com que todas as diagonais deixem de ser
>paralelas.
>Daí teríamos o ponto central do círculo interseção das diagonais dos
>quadriláteros ACEG e BDFH, o que invalidaria a bijeção do Bruno.
>
>Mas essa é só uma impressão minha, não sei se de fato está certo esse meu
>achismo.
>
>Eduardo.
>

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