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Olá,
Gostaria de saber onde posso aprender sobre
derivadas fracionárias e suas aplicações!
Obrigado
Camilo Jacob
----- Original Message -----
Sent: Wednesday, August 07, 2002 2:24
PM
Subject: Re: [obm-l] Tautochrona
Ligação entre derivada frácionaria e a solucao do problema da
Tautochrone segundo Abel :
A velocidade V com que o corpo desliza para
uma altura percorrida genérica é dada por
v =
sqrt(2g(y[0]-y))
Entao
dt = ds/v
Assim dt = sqrt((dx/dy)^2
+1)dy/sqrt(2g(y[0]-y))
dt = sqrt((1/dy/dx)^2 +
1)dy/sqrt(2g)(y[0]-y)^1/2
dt = sqrt((1/y')^2 +
1)dy/sqrt(2g)(y[0]-y)^1/2
Integrando os infinitésimos de tempo e de
espaço
Integral[0 até T]dt = Integral[0 até y[0]]
((y[0]-y)^-1/2)sqrt((1/y')^2 + 1)dy/sqrt(2g)
Impondo T cte, para qualquer
y[0] e rotulando o objeto sqrt((1/y')^2 + 1) no nucleo do funcional f(y),
tem-se a seguinte integral
Tsqrt(2g)/1 = Integral[0 até y[0]]
((y[0]-y)^-1/2).f(y)dy
Tsqrt(2g)/Gamma(1/2) = 1/Gamma(1/2) Integral[0
até y[0]] ((y[0]-y)^-1/2).f(y)dy
Nao sei se voce conhece derivada
fracionária, se não conhecer é um grande problema :)
Vou adotar a notacao
D^1/2 para derivada meiésima por exemplo
Tsqrt(2g)/Gamma(1/2) = D^-1/2
f(y)
Aplicando-se D^1/2 em ambos os lados da eq. anterior
tem-se
D^1/2 Tsqrt(2g)/Gamma(1/2) = D^1/2 D^-1/2 f(y)
D^1/2
Tsqrt(2g)/Gamma(1/2) = f(y)
f'(y) = (T.sqrt(2g)/Gamma(1/2))
D^1/2[1]
Do Lacroano p/ m = 0 e n=1/2 tem-se
D^1/2 [1] =
(Gamma(0+1)y^0-1/2)/Gamma(0-1/2+1)
sqrt((1/y'^2) + 1) = T.sqrt(2g)
y^-1/2 / Gamma(1/2) Gamma(1/2)
sqrt((1/y'^2) + 1) =
sqrt((2gT^2)/(pi^2)y)
sqrt((1/y'^2) + 1) = sqrt(k/y)
y' = dy/dx ,
quadrando os dois lados resulta :
1 + 1/(dy/dx)^2 = k/y
A partir
dai da um trabalhinho..mas voce chega na cicloide
heheh
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