Re: [obm-l] Tautochrona

[niski <fabio@xxxxxxxxx>]

Ligação entre derivada frácionaria e a solucao do problema da Tautochrone
segundo Abel :

A velocidade V com que o corpo desliza para uma altura percorrida genérica
é dada por
v = sqrt(2g(y[0]-y))
Entao
dt = ds/v 
Assim dt = sqrt((dx/dy)^2 +1)dy/sqrt(2g(y[0]-y))

dt = sqrt((1/dy/dx)^2 + 1)dy/sqrt(2g)(y[0]-y)^1/2
dt = sqrt((1/y')^2 + 1)dy/sqrt(2g)(y[0]-y)^1/2

Integrando os infinitésimos de tempo e de espaço

Integral[0 até T]dt = Integral[0 até y[0]] ((y[0]-y)^-1/2)sqrt((1/y')^2 +
1)dy/sqrt(2g)
Impondo T cte, para qualquer y[0] e rotulando o objeto sqrt((1/y')^2 + 1)
no nucleo do funcional f(y), tem-se a seguinte integral

Tsqrt(2g)/1 = Integral[0 até y[0]] ((y[0]-y)^-1/2).f(y)dy

Tsqrt(2g)/Gamma(1/2) = 1/Gamma(1/2) Integral[0 até y[0]] ((y[0]-y)^-1/2).f(y)dy

Nao sei se voce conhece derivada fracionária, se não conhecer é um grande
problema :) 
Vou adotar a notacao D^1/2 para derivada meiésima por exemplo

Tsqrt(2g)/Gamma(1/2) = D^-1/2 f(y)  

Aplicando-se D^1/2 em ambos os lados da eq. anterior tem-se

D^1/2 Tsqrt(2g)/Gamma(1/2) = D^1/2 D^-1/2 f(y)  
D^1/2 Tsqrt(2g)/Gamma(1/2) = f(y)
f'(y) = (T.sqrt(2g)/Gamma(1/2)) D^1/2[1]

Do Lacroano p/ m = 0 e n=1/2 tem-se
D^1/2 [1] = (Gamma(0+1)y^0-1/2)/Gamma(0-1/2+1)

sqrt((1/y'^2) + 1) = T.sqrt(2g) y^-1/2 / Gamma(1/2) Gamma(1/2)
sqrt((1/y'^2) + 1) = sqrt((2gT^2)/(pi^2)y)
sqrt((1/y'^2) + 1) = sqrt(k/y)
y' = dy/dx , quadrando os dois lados resulta :

1 + 1/(dy/dx)^2 = k/y

A partir dai da um trabalhinho..mas voce chega na cicloide heheh