[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Thomas,

acontece o seguinte.

Alguém pede uma fatoração da expressão 1 + x + x^2 nos reais, o que quer
dizer que querem expressar essa mesma expressão como um produto ou quociente
de expressões (possivelmente mais simples) de forma que para todo x real
(esse é o domínio explícito: domínio no sentido de considerarmos f(x) = 1 +
x + x^2 uma função de domínio real f:R->R) ela se iguala à expressão produto
ou quociente.

Por exemplo. Temos que
(1 + x + x^2)*(x - 1) = (x + x^2 + x^3) - (1 + x + x^2) = (x^3 - 1)
ou seja
(1 + x + x^2)*(x - 1) = (x^3 - 1)
e essa expressão vale para TODO o x real, aí ficamos tentados a escrever
(1 + x + x^2) = (x^3 - 1)/(x - 1)
o que ainda é verdade, mas só no caso de (x - 1) ser diferente de 0,
portanto o domínio onde vale a expressão (x^3 - 1)/(x - 1) é os reais menos
o zero, e por isso essa não é uma fatoração válida para todos os reais.

Por que surge a restrição na hora do quociente?
Se temos a*b = c podemos dizer que vale a = c/b só se b for diferente de
zero.

Se quiséssemos fatorar a expressão (x^3 - 1)/(x - 1) nos reais sem o zero,
aí sim poderíamos dizer
(x^3 - 1)/(x - 1) = (1 + x + x^2)
pois nesse domínio as duas expressões sempre são iguais.

Um outro exemplo é o seguinte. A expressão
(x^2 - y^2)
pode ser fatorada da seguinte forma
(x^2 - y^2) = (x + y)*(x - y)
E a expressão da direita vale para todos os reais, por isso é uma fatoração
válida.

Um outro exemplo ainda é o seguinte. Fatorar, nos reais, a expressão
(1 - x^2 + x^4)
multiplique-a por (x^2 + 1)
(1 - x^2 + x^4)*(x^2 + 1) = (x^2 - x^4 + x^6) + (1 - x^2 + x^4) = (x^6 + 1)
o que nos deixa tentados a escrever
(1 - x^2 + x^4) = (x^6 + 1)/(x^2 + 1)
o que é verdade para todos os reais, então temos uma fatoração válida nos
reais. Já nos complexos ela não é válida, pois (x^6 + 1)/(x^2 + 1) não está
definida para x=i.

Quando queremos fatorar a expressão (x^6 + x^3y^3 + y^6) no reais, estamos
interessados em encontrar uma expressão produto ou quociente que valha para
todos os pontos do plano (x, y). No caso a expressão
(x^9 - y^9)/(x^3 - y^3) = (x^6 + x^3y^3 + y^6)
só vale quando (x^3 - y^3) não é zero, ou seja quando x é diferente de y.
Portanto essa fatoração funciona funciona em todos os pontos (x, y) do
plano, excetuando-se a reta afim, onde vale x=y

Espero não ter sido muito simplório e que tenha explicado o que interessa.

Um abraço a todos!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.


From: "Thomas de Rossi" <thomasderossi@ig.com.br>
> Oi pessoal,
>
> Olhei para a fatoração e não entendi a explicação:
> > Nao. Pq o dominio é Reais. Com a sua fatoracao (onde tem uma divisao)
> > x^3 nao pode ser igual a y^3 o que restringe o dominio.
>
> Poderiam ser mais didáticos na explicação,
>
> Sds: Thomas.
>
> ----- Original Message -----
> From: "niski" <fabio@niski.com>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wednesday, June 19, 2002 10:34 PM
> Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
>
>
> >
> >
> > Igor Castro wrote:
> >
> > >(x^6 + x^3.y^3 + y^6)(x^3 - y^3) = x^9 - y^9
> > >
> > >x^6 + x^3.y^3 + y^6= (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3)
> > >seria isso?
> > >
> >
> > Nao. Pq o dominio é Reais. Com a sua fatoracao (onde tem uma divisao)
> > x^3 nao pode ser igual a y^3 o que restringe o dominio.
> >
> > >
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