Re: [obm-l] Mais duvidas de analitica/geo plana

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Ola!

Um jeito de esclarever sua dúvida é fazer o seguinte.

Sejam (a,b) e (c,d) dois pontos distintos do plano. Prove o seguinte: Se o
ponto (x,y) pertence à reta que passa pelos dois pontos então existe um real
t tal que
t*(a,b) + (1-t)*(c,d) = (x,y)

Repare que o grafico da função t -> t*(a,b) + (1-t)*(c,d) é uma reta, e
calcule t=0 e t=1 para ver que ela passa pelos pontos (a,b) e (c,d).

Depois de provar isso, use as propriedades do determinante.

Se o determinante for
     | x  y   1 |
     |  a b   1 | = 0
     |  c d   1 |
então as linhas são linearmente dependentes. Como as duas últimas são
linearmente independentes segue que a primeira é combinação das duas últimas
(x,y,1) = q*(a,b,1) + p*(c,d,1)

Temos q + p = 1, substitui q = t e p = 1 - t
(x,y,1) = t*(a,b,1) + (1-t)*(c,d,1)
o que implica
(x,y) = t*(a,b) + (1-t)*(c,d)
e daí (x,y) pertence à reta que passa por (a,b) e (c,d).

Reciprocamente, se (x,y) pertence à essa reta, existe t tal que
(x,y) = t*(a,b) + (1-t)*(c,d)
e daí
(x,y,1) = t*(a,b,1) + (1-t)*(c,d,1)
o que implica que (x,y,1) é combinação linear de (a,b,1) e (c,d,1) daí o
determinante
    | x  y   1 |
    |  a b   1 | = 0
    |  c d   1 |
o que completa a prova.

Em relação à primeira observação, a saber, que todos os pontos da reta são
obtidos multiplicando-se
| a  b | | x |
| c  d |.| y |
tenho que dizer que ela não é verdadeira. Por que? Ponha (a,b) = (1,0) e
(c,d) = (0,1), todos que estudaram um pouco de matrizes sabem que todos os
pontos do plano podem ser obtidos fazendo a multiplicação matricial aí de
cima, portanto não se trate de uma reta. Uma possibilidade, em termos de
multiplicação seria
| a  c | | t  |
| b d |.|1-t|
o que é igual à primeira observação do e-mail.

Um abraço!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.



From: "Fernando Henrique Ferraz P. da Rosa" <mentus@gmx.de>
>Eu, de novo, com meus problemas de analitica.
>
>Tendo dois pontos A(a,b) B(c,d), eu consigo achar a equacao da reta que
>passa pelos dois pontos multiplicando a matriz {a, b | c, d} por {x,y}.
>Como eu posso provar que isso é verdade?
>Outra coisa que eu fiz, mas acho que a resposta nao está conferindo.
>Como eu provo que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio?
>Pode ser por analitica ou por plana.

Hum.. vou comentar primeiro o segundo que tenho mais certeza. Temos o
paralelogramo ABCD (segue figura). Seja M o ponto médio do segmento AC, ou
seja, AM[vetor] = MC[vetor]. Queremos mostrar que M também é ponto médio do
segumento BC, ou seja, que BM[vetor] = MD[vetor].
BM[vetor] = BC[vetor] + CM[vetor] = MA[vetor] + AD[vetor] = -DM[vetor] =
MC[vetor].
Logo as duas diagonais AC e BD se cortam ao meio.

O primeiro problema é algo que vem me atormentando há tempos mas eu conheço
de uma maneira levemente diferente. Sejam os pontos A=(a,b) e B=(c,d)
montando a seguinte matriz e igualando o determinante a 0, tambem chegamos
na equação geral da reta que passa por esses dois pontos:
     |  x  y   1 |
     |  a b   1 | = 0
     |  c d   1 |                                  matriz [1]
Essa matriz também tem outras propriedades misteriosas... Tomemos um
triangulo em E² com vértices A=(a,b), B=(c,d) e C=(e,f), sendo D o
determinante da matriz abaixo:
     |  a  b  1 |
     |  c  d  1 |
     |  e  f   1 |                                 matriz[2]
A área do triângulo desse triangulo é dada por |D|/2.

A partir dessa propriedade fica natural 'zerarmos' o determinante que
usamos para achar a equação da reta... já que se os pontos sao colineares
eles nao podem formar um triangulo e portanto a area deve ser nula.

Ainda assim.. só disfarçamos um pouco o problema... fica a questão. porque
cargas d'água ao montarmos a matriz [2] acima, calcularmos o determinante,
pegarmos seu valor absoluto e dividirmos por dois temos a area do
triangulo...

Quando trabalhamos em E³, quando temos tres vetores u=(x1,y1,z1)
v=(x2,y2,z2) e w=(x3,y3,z3). e calculamos o determinante da matriz formada
pelos valores de x1,y1,z1...etc. se os tres vetores forem linearmente
independentes, obtemos o volume do paralelepipedo dos quais os tres sao
vertices. Se eles forem linearmente dependentes esse determinante é 0.

Nao sei até que ponto essas propriedades misteriosas da matrizes se aplicam
ou podem ser provadas em E². Voltando para a matriz[1] podemos imaginar
tres vetores, v=(x,y,1), u=(c,d,1) e w=(e,f,1). Ao impormos D(matriz[1]) =
0, queremos que esses tres vetores sejam linearmente dependentes, ou seja
paralelos ao mesmo plano. Novamente.. ainda é um mistério pra mim como isso
se relaciona as retas em E².

Bom, acho que só atrapalhei e inventei mais duvidas do que solucionei seu
problema de fato... mas como já comentei era algo que vinha me atormentando
e com sorte outros membros da lista vao jogar uma luz nisso :P






"... a perfect formulation of a problem is already half
    its solution."
          David Hilbert.
-
[]'s
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa
USP, IME, Estatística
http://www.linux.ime.usp.br/~feferraz



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