Re: [obm-l] Mais duvidas de analitica/geo plana

["Fernando Henrique Ferraz P. da Rosa" <mentus@xxxxxx>]

At 14:00 6/14/2002 -0300, you wrote:

>Eu, de novo, com meus problemas de analitica.
>
>Tendo dois pontos A(a,b) B(c,d), eu consigo achar a equacao da reta que
>passa pelos dois pontos multiplicando a matriz {a, b | c, d} por {x,y}.
>Como eu posso provar que isso é verdade?
>Outra coisa que eu fiz, mas acho que a resposta nao está conferindo.
>Como eu provo que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio?
>Pode ser por analitica ou por plana.

Hum.. vou comentar primeiro o segundo que tenho mais certeza. Temos o 
paralelogramo ABCD (segue figura). Seja M o ponto médio do segmento AC, ou 
seja, AM[vetor] = MC[vetor]. Queremos mostrar que M também é ponto médio do 
segumento BC, ou seja, que BM[vetor] = MD[vetor].
BM[vetor] = BC[vetor] + CM[vetor] = MA[vetor] + AD[vetor] = -DM[vetor] = 
MC[vetor].
Logo as duas diagonais AC e BD se cortam ao meio.

O primeiro problema é algo que vem me atormentando há tempos mas eu conheço 
de uma maneira levemente diferente. Sejam os pontos A=(a,b) e B=(c,d) 
montando a seguinte matriz e igualando o determinante a 0, tambem chegamos 
na equação geral da reta que passa por esses dois pontos:
     |  x  y   1 |
     |  a b   1 | = 0
     |  c d   1 |                                  matriz [1]
Essa matriz também tem outras propriedades misteriosas... Tomemos um 
triangulo em E² com vértices A=(a,b), B=(c,d) e C=(e,f), sendo D o 
determinante da matriz abaixo:
     |  a  b  1 |
     |  c  d  1 |
     |  e  f   1 |                                 matriz[2]
A área do triângulo desse triangulo é dada por |D|/2.

A partir dessa propriedade fica natural 'zerarmos' o determinante que 
usamos para achar a equação da reta... já que se os pontos sao colineares 
eles nao podem formar um triangulo e portanto a area deve ser nula.

Ainda assim.. só disfarçamos um pouco o problema... fica a questão. porque 
cargas d'água ao montarmos a matriz [2] acima, calcularmos o determinante, 
pegarmos seu valor absoluto e dividirmos por dois temos a area do triangulo...

Quando trabalhamos em E³, quando temos tres vetores u=(x1,y1,z1) 
v=(x2,y2,z2) e w=(x3,y3,z3). e calculamos o determinante da matriz formada 
pelos valores de x1,y1,z1...etc. se os tres vetores forem linearmente 
independentes, obtemos o volume do paralelepipedo dos quais os tres sao 
vertices. Se eles forem linearmente dependentes esse determinante é 0.

Nao sei até que ponto essas propriedades misteriosas da matrizes se aplicam 
ou podem ser provadas em E². Voltando para a matriz[1] podemos imaginar 
tres vetores, v=(x,y,1), u=(c,d,1) e w=(e,f,1). Ao impormos D(matriz[1]) = 
0, queremos que esses tres vetores sejam linearmente dependentes, ou seja 
paralelos ao mesmo plano. Novamente.. ainda é um mistério pra mim como isso 
se relaciona as retas em E².

Bom, acho que só atrapalhei e inventei mais duvidas do que solucionei seu 
problema de fato... mas como já comentei era algo que vinha me atormentando 
e com sorte outros membros da lista vao jogar uma luz nisso :P






"... a perfect formulation of a problem is already half
    its solution."
          David Hilbert.
-
[]'s
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa
USP, IME, Estatística
http://www.linux.ime.usp.br/~feferraz

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