Re: [obm-l] Desafio

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Use que 1+a(i) >=2sqrt[a(i)]. Fazendo o produto dessas n equações, temos que
P >=2^n * sqrt[ produto a(i) ] = 2^n * 2 = 2^(n+1). RESPOSTA : C.
Villard
-----Mensagem original-----
De: Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 6 de Junho de 2002 23:09
Assunto: Re: [obm-l] Desafio


>Caro Bruno,
>
>a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar índices
>para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer exponenciação
>geralmente se usa "^", aí as alternativas seriam P>2^(n+3), P>5^n, e assim
>por diante.
>
>Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
>indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que diz
>que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então
>
>(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 1 + (a_1*a_2*...*a_n)
>
>com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.
>
>No caso do seu problema. Temos
>
>P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) > 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.
>
>Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante me
>parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n.
>
>Fazendo a multiplicação, temos
>
>P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
>[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]
>
>No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários.
>No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
>No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
>Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética >= média geométrica em cada
>um dos colchetes.
>
>P >= 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
>{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]
>
>De forma mais compacta
>
>P >= 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n   :    C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
>(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1))  } } =
>1 + SOMATÓRIO{ k=1...n   :    C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
>= (1 + RAIZ_n(4))^n
>
>((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))
>
>Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
>isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e geométrica.
>
>Portanto P >= (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.
>
>Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde a>1)
>vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1 +
>RAIZ_n(4), a "base" da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
>cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a
>alternativa correta é e).
>
>Um abraço!
>
>Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
>
>
>>From: Bruno
>>
>>Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista:
>>"Suponha a', a'', ....., an  são números reais positivos, com n>2 e que
>>a'.a''.a'''....an=4
>>Nesta situação, a repeito do produto:
>>P=(1+a')(1+a'').......(1+an)  temos:
>>          n+3
>>a.)P>2
>>                           n
>>                b.)P>5
>>                                             n+1
>>                                   c.)P>2
>>             n+1
>>d.)P>5
>>                e.)n.d.a.
>>
>
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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