Re: [obm-l] Desafio

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Caro Bruno,

a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar índices
para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer exponenciação
geralmente se usa "^", aí as alternativas seriam P>2^(n+3), P>5^n, e assim
por diante.

Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que diz
que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então

(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 1 + (a_1*a_2*...*a_n)

com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.

No caso do seu problema. Temos

P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) > 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.

Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante me
parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n.

Fazendo a multiplicação, temos

P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]

No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários.
No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética >= média geométrica em cada
um dos colchetes.

P >= 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]

De forma mais compacta

P >= 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n   :    C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1))  } } =
1 + SOMATÓRIO{ k=1...n   :    C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
= (1 + RAIZ_n(4))^n

((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))

Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e geométrica.

Portanto P >= (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.

Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde a>1)
vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1 +
RAIZ_n(4), a "base" da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a
alternativa correta é e).

Um abraço!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.


>From: Bruno
>
>Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista:
>"Suponha a', a'', ....., an  são números reais positivos, com n>2 e que
>a'.a''.a'''....an=4
>Nesta situação, a repeito do produto:
>P=(1+a')(1+a'').......(1+an)  temos:
>          n+3
>a.)P>2
>                           n
>                b.)P>5
>                                             n+1
>                                   c.)P>2
>             n+1
>d.)P>5
>                e.)n.d.a.
>


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