Re: [obm-l] Desafio

["Bruno" <stan84@xxxxxxxxxx>]

obrigado pela solução mas o que é:
"sqrt"?

abraços,
Bruno
----- Original Message -----
From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, June 07, 2002 11:01 AM
Subject: Re: [obm-l] Desafio


> Use que 1+a(i) >=2sqrt[a(i)]. Fazendo o produto dessas n equações, temos
que
> P >=2^n * sqrt[ produto a(i) ] = 2^n * 2 = 2^(n+1). RESPOSTA : C.
> Villard
> -----Mensagem original-----
> De: Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Quinta-feira, 6 de Junho de 2002 23:09
> Assunto: Re: [obm-l] Desafio
>
>
> >Caro Bruno,
> >
> >a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar
índices
> >para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer
exponenciação
> >geralmente se usa "^", aí as alternativas seriam P>2^(n+3), P>5^n, e
assim
> >por diante.
> >
> >Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
> >indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que
diz
> >que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então
> >
> >(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 1 + (a_1*a_2*...*a_n)
> >
> >com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.
> >
> >No caso do seu problema. Temos
> >
> >P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) > 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.
> >
> >Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante
me
> >parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n.
> >
> >Fazendo a multiplicação, temos
> >
> >P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
> >[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]
> >
> >No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários.
> >No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
> >No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
> >Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética >= média geométrica em
cada
> >um dos colchetes.
> >
> >P >= 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
> >{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]
> >
> >De forma mais compacta
> >
> >P >= 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n   :    C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
> >(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1))  } } =
> >1 + SOMATÓRIO{ k=1...n   :    C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
> >= (1 + RAIZ_n(4))^n
> >
> >((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))
> >
> >Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
> >isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e
geométrica.
> >
> >Portanto P >= (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.
> >
> >Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde
a>1)
> >vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1
+
> >RAIZ_n(4), a "base" da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
> >cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a
> >alternativa correta é e).
> >
> >Um abraço!
> >
> >Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
> >
> >
> >>From: Bruno
> >>
> >>Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista:
> >>"Suponha a', a'', ....., an  são números reais positivos, com n>2 e que
> >>a'.a''.a'''....an=4
> >>Nesta situação, a repeito do produto:
> >>P=(1+a')(1+a'').......(1+an)  temos:
> >>          n+3
> >>a.)P>2
> >>                           n
> >>                b.)P>5
> >>                                             n+1
> >>                                   c.)P>2
> >>             n+1
> >>d.)P>5
> >>                e.)n.d.a.
> >>
> >
> >
> >=========================================================================
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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