Re: [obm-l] unicidade de polinomios

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

A demonstração que conheço e que está no
livro de Indução que escrevi (problema 95)
é meio delicada.

Começa assim: Demonstre o seguinte teorema:

um polinômio p(x) é identicamente nulo se, e somente se,
todos os seus coeficientes são nulos.

Observação: diz-se que um polinômio p(x) é identicamente nulo
se, e somente se, p(x)=0 para todo x.

Tendo demonstrado o teorema, cito e demonstro dois corolários.

1) dois polinômios p(x) e q(x) são idênticos se, e somente se,
eles têm o mesmo grau e os coeficientes das potências de
mesmo grau em x são iguais.

2) seja p(x) o polinômio a_nx^n + .... + a_1x + a_0. Então, podemos
escrever p(x) como p(x)=a_n(x-r_1)....(x-r_n), onde os r_i são
as raízes de p(x).

Este resultado depende do resultado do problema 92. O uso
do teorema do problema 95 é concluir que a_n tem que ser
a_n (por ser o coeficiente de x^n nos dois polinômios).

[]'s
Luis

-----Mensagem Original-----
De: Carlos Frederico Borges Palmeira <fredpalm@mat.puc-rio.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: quarta-feira, 29 de maio de 2002 05:33
Assunto: Re: [obm-l] unicidade de polinomios


> olhando com mais cuidado, vejo que escorreguei tambem. De fato se for
> verdade para todo k de 0 a n-1, e' verdade para n. isto e' o que foi
> demonstrado. so que n esta' fixo. como foi observado pelo arnaldo, nao da
> nem para passar de 0 para 1. Uma alternativa para o passo de inducao e'
> supondo verdade a igualdade dos coeficientes  ate' k ,obtemos a igualdade
> a(k+1)x^k+1 + a(k+2)x^k+2+...= b(k+1)x^k+1+... Dividindo por x^k+1 e
> fazendo x=0, obtem-se a(k+1)=b(k+1).
> Fred Palmeira
>
> On Wed, 29 May 2002, Carlos Frederico Borges Palmeira wrote:
>
> > oi gabriel,
> >  o sua professora de fato escorregou na utilizacao do principio da
> > inducao. A forma usual e' provar que vale para n=0, e provar que se vale
> > para n entao vale para n+1. Outra forma e' provar que vale para n=0 e
> > provar que se vale para todo k de 0 a n , entao vale para n+1.
> > Apaarentemente ela disse que ia usar a 1a e de fato usou a 2a. Como voce
> > observou a 1a forma e' insuficiente para esta demonstracao. na passagem
> > destacada abaixo, e' de fato necessario a 2a forma.
> > []s
> > Fred Palmeira
> >
> >
> >
> >
> >
> > On Tue, 28 May 2002 ghaeser@zipmail.com.br wrote:
> >
> > > Olá pessoal da lista,
> > > me surgiu uma dúvida durante uma aula de análise que a professora nao
conseguiu
> > > tirar..
> > >
> > > Seja f(x)=a0+a1x+..+anx^n, g(x)=b0+b1x+..+bnx^n polinômios de grau n,
onde
> > > f(x)=g(x) qualquer que seja x, prove que ai=bi para i=0,..,n .. para
todo
> > > n natural.
> > >
> > > demonstração da professora:
> > >
> > > seja h(x)=f(x)-g(x)=0 para todo x real, por hipotese
> > > logo como h(0)=0 entao a0=b0
> > > por inducao, suponha que a(n-1)=b(n-1), logo, como h(1)=0 temos:
> > > a0+..+a(n-1)+an=b0+..+b(n-1)+bn,
> > para passar para a proxima linha precisa supor verdade para todo k de 0
a
> > n.
> > ************************************
> >  como
> > > a0+..+a(n-1)=b0+..+b(n-1), temos que an=bn
> > ****************************************
> >
> > >
> > > logo, por indução temos que vale para todo n
> > >
> > > minha dúvida é:
> > >
> > > seja um polinomio h(x) de grau n, onde h(0)=0 e h(1)=0, prove que
a0=a1=..=an=0
> > > para todo n.
> > >
> > > obviamente isto é falso, mas eu consigo demonstrar utilizando a prova
dela..
> > > por isso acho q tem alguma coisa errada com a hipotese de inducao ..
talvez
> > > deva haver uma inclusao da hipotese de haver n+1 zeros para o grau n
..
> > > tentei explicar isto para ela, mas ela nao concordou .. será que
alguém
> > > pode me ajudar ??
> > >
> > > muito obrigado !!
> > >
> > > Gabriel Haeser
> > > www.gabas.cjb.net
> > >
> > >
> > > "Mathematicus nascitur, non fit"
> > > Matemáticos não são feitos, eles nascem
> > > ---------------------------------------
> > > Gabriel Haeser
> > > www.gabas.cjb.net
> > >
> > >
> > > ------------------------------------------
> > > Use o melhor sistema de busca da Internet
> > > Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
> > >
> > >
> > >
> > >
=========================================================================
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> > >
=========================================================================
> > >
> >
> >
=========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> >
=========================================================================
> >
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> =========================================================================
>
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================