Re: [obm-l] Conicas e Latus Rectum

[André <araujoime@xxxxxxxxx>]

E ai Marcio, blz?

Primeiro vamos lembrar de algumas definicoes.
1)  Na elipse, o lugar dos meios das cordas paralelas a uma direcao dada
delta eh um segmento de reta D passando pelo centro. Diz-se que D eh o
diametro relativo a direcao delta.
2) Na elipse, se D for o diametro relativo a direcao delta, o diametro D*
relativo a direcao D sera paralelo a direcao delta. Diz-se que D e D* sao
dois diametros conjugados.

Lema1: Numa elipse, qq diametro eh a media geometrica entre a corda focal
que lhe eh paralela e o eixo maior. Ou seja:

(D1D2)^2 = (M1M2) x (2*a), onde D1D2 eh diametro qq e M1M2 corda focal
paralela a D1D2.

Prova: Exercicio para vc.

Lema2: Numa elipse, a soma dos quadrados de dois semidiametros conjugados eh
constante e igual a soma dos quadrados dos semi eixos. Ou seja:

[(D1D2)/2]^2  +  [(E1E2)/2]^2 = a^2 + b^2, onde D1D2 e  E1E2 sao diametros
conjugados.

Prova: Exercicio para vc.

Teorema: Numa elipse,  a soma de duas cordas focais, paralelas a dois
diametros conjugados, eh constante.
Prova:

Sejam dois diametros conjugados D1D2 e E1E2 e as cordas focais M1M2, P1P2 q
lhe sao paralelas. Do lema 1, temos que:

(D1D2)^2 = (M1M2) x (2*a)
(E1E2)^2 = (P1P2) x (2*a)

Somando as expressoes: (M1M2 + P1P2) x (2*a) = (D1D2)^2  +  (E1E2)^2, do
lema 2, temos que:

M1M2 + P1P2 = 2*( a + (b^2)/a) = constante.

Em particular tome P1P2 igual ao eixo maior, ou seja P1P2 = 2*a (maximo) e
M1M2 = 2*(b^2)/a (minimo, perpendicular a P1P2).

Isto eh tudo...

Andre Araujo.

----- Original Message -----
From: <mcohen@iis.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, May 26, 2002 7:49 PM
Subject: [obm-l] Conicas e Latus Rectum


> Como mostrar que a menor corda focal de uma elipse eh sempre perpendicular
ao eixo maior?
>
> Esse problema me persegue ha bastante tempo ... qdo eu era aluno no 2o
grau, li em algum lugar essa propriedade... q dentre todas as cordas da
elipse passando por um determinado foco, aquela q fosse perpendicular ao
eixo maior tinha comprimento minimo.. parece q existem resultados analogos
para as outras conicas.. Eu nao lembro aonde li isso, mas nunca encontrei a
demonstracao. e agora eu precisei demonstrar isso e nao consegui. se alguem
puder ajudar, agradeco!! (tentei inicialmente colocar o comprimento da corda
em funcao do angulo x com a horizontal, e depois analisar a funcao
> f(tan(x)).. a expressao era um pouco grande (4 fracoes racionais de grau
<= 2, duas delas ao quadrado) mas nao oobtive sucesso...
>
> Obrigado,
> Marcio
>
>
>
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