Re: [obm-l] logaritmo de (-10)^2

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, May 20, 2002 at 09:43:04PM -0300, Josimar wrote:
> log(x^n) = n*log x  <==> x > 0.
> Assim como sqrt(x^2) = x    <===> x>=0.
> sqrt[(-10)^2] = sqrt 100 = 10.
> A rigor, sqrt(x^2) = abs ( x ).
> []s, Josimar
> ----- Original Message -----
> From: Rafael WC <rwcinoto@yahoo.com>
> To: OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, May 20, 2002 8:08 PM
> Subject: [obm-l] logaritmo de (-10)^2
> 
> 
> Oi Pessoal!
> 
> Caiu uma questão num concurso só para professores de
> matemática ontem que me deixou intrigado:
> Dada a função f:
> f(x) = x + raiz(x^2) - log(base 10)(x^2)
> 
> Calcule f(-10).
> 
> A resposta foi -2. Mas depois da prova surgiu a maior
> discussão porque existia uma alternativa que era
> "f(-10) não está definida".
> 
> O pessoal questinou que estando f(-10) definida, devia
> valer a propriedade do expoente de logaritmo e
> poderíamos escrever:
> f(x) = x + raiz(x^2) - log(base 10)(x^2)
> f(x) = x + raiz(x^2) - 2.log(base 10)(x)
> 
> E aí vemos claramente que não podemos tirar o log de
> -10. Mas como o gabarito da comissão organizadora foi
> -2, ficamos todos na dúvida: está definida f(-10)???

A resposta do Josimar (e uma outra que eu já esqueci de quem era)
foi boa, e a opção correta claramente é f(-10) = -2.

...mas só para tumultuar um pouco, vou questionar a frase "claramente
não podemos tirar o log de (-10)"; log(x) está definido para números
negativos sim, desde que permitamos respostas complexas. Isto vem de 

exp(a + ib) = exp(a) (cos(b) + i sen(b))

donde por exemplo

exp(Pi i) = -1

e descobrimos que (Pi i) é um logaritmo de (-1).
Digo um logaritmos pq aqui temos o mesmo problema que para raízes quadradas:
dado um número complexo w há mais de um número complexo z com exp(z) = w.
É preciso escolher um valor favorito para que log(z) seja o nome de um número.

[]s, N.
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