Re: [obm-l] Trigo

["Felipe Marinho" <piuwee@xxxxxxxxxxx>]

Caro amigo DEOLIVEIRASOU,

Vou tentar ajudá-lo apenas na resolução da 1a. questão, pois já notifiquei 
que outro nosso colega da lista o ajudou em demonstrar o valor da 2a. 
questão.

Então, vamos lá:
----------------

Resolvi a questão apenas com a fórmula abaixo:

tg(3x) = tg(x).tg(60-x).tg(60+x)

Fazendo, então, x=20, teríamos:
tg(60) = tg(20).tg(40).tg(80)

Ou seja:
tg(20).tg(40).tg(80) = tg(60)
tg(20).tg(40).tg(80) = sqrt(3).

------- FIM -------

Bem, e como sei tambem que você gostaria da demonstração da fórmula, 
tentarei lhe ajudar mais uma vez.

Então, vamos lá:

Sabendo que:

tg(a+b) = [tg(a) + tg(b)]/[1 - tg(a).tg(b)]
tg(a-b) = [tg(a) - tg(b)]/[1 + tg(a).tg(b)]

Vamos agora calcular quanto vale tg(3x):

tg(3x) = [tg(x) + tg(2x)]/[1 - tg(x).tg(2x)]
tg(3x) = (tg(x) + tg(x) + tg(x) )   (1 - tg(x).[tg(x) + tg(x)])
         (        ------------- ) / (          -------------- )
         (         [1 - tg²(x)] )   (           [1 - tg²(x)]  )

Para nos facilitar, chamemos tg(x)=a.
Então, temos:

tg(3x) = [a + 2a/(1-a²)]/[1 - a(2a)/(1-a²)]
tg(3x) = [(a-a³+2a)/(1-a²)]/[(1-a²-2a²)/(1-a²)]
tg(3x) = [(-a³+3a)/(1-a²)]/[(1-3a²)/(1-a²)
tg(3x) = [(-a³+3a)/(1-3a²)]   x(-1)
tg(3x) = [(a³-3a)/(3a²-1)]
tg(3x) = [a(a²-3)/(3a²-1)]
tg(3x) = a(a + sqrt[3])(a - sqrt[3]) / (sqrt(3)a + 1)(sqrt(3) - 1)

E como a = tg(x), temos:

tg(3x) = tg(x). (tg(x) + sqrt[3])(tg(x) - sqrt[3])
                -----------------------------------
                (sqrt[3)tg(x) + 1)(sqrt[3]tg(x) - 1)

Sabemos que sqrt(3) = tg(60), não é verdade ?
Multiplicando o numerador e o dividendo por (-1), temos:

tg(3x) = tg(x).  [tg(x)+tg(60)][tg(60) - tg(x)]
               ----------------------------------
               [1 + tg(60)tg(x)][1 - tg(60)tg(x)]

Bem, agora fica fácil ver que podemos simplificar a fração, pois sabemos 
que:

tg(60+x)=[tg(60)+tg(x)]/[1-tg(60)tg(x)]
tg(60-x)=[tg(60)-tg(x)]/[1+tg(60)tg(x)]

E, com isso, temos que:

tg(3x) = tg(x).tg(60+x).tg(60-x)    (c.q.d)

----- FIM ------

Caro amigo, o problema em questão limita-se a fazer x=20, para termos:
tg(60) = tg(20).tg(80).tg(40)
-----------------------------

Bem amigo, de coração, espero ter ajudado!
Desculpe qualquer coisa.
Um grande abraço,

Felipe Marinho.

>From: DEOLIVEIRASOU@aol.com
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Trigo
>Date: Tue, 21 May 2002 00:27:36 EDT
>
>1)Calcular o valor de tg20.tg40.tg80
>2)Mostre que tg20+tg70=2sec50.
>Agradeço quem ajudar nessas questões.


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