Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.

[Rafael WC <rwcinoto@xxxxxxxxx>]

> >Devemos encontrar "a" e "b" inteiros nao-negativos.
> Como
> >(10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3
> >posso FATORAR o segundo membro assim :
> >a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2)
> >colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica
> :
> >(10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2)
> >como a + b > 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois
> digitos ) posso dividir
> >tudo por a+b. Vai ficar :
> >
> >10a + b = a^2 - ab + b^2
> >
> >reduzindo os termos semelhantes
> >
> >a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0
> >
> >E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em "a". O
> Discriminante e :
> >
> >(10 - b)^2 - 4*(b^2 - b)
> >
> >Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0
> >
> >Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos
> em que o discriminante e
> >um quadrado perfeito e que implicam num  "a"
> inteiro positivo. Isso vai me
> >fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o
> problema.


Oi Pessoal!

Na curiosidade, vou achar os tais números e percebi
que tinha um pequeno equívoco na resolução, só um
sinalzinho de mais trocado por um de menos. Segue a
correção e já aproveito para mandar as respostas:

1) Considere os números formados por 2 dígitos tais
que a 
multiplicacao do número formado por a e b pela soma
dos dígitos
seja igual a soma do cubo dos digitos.
Quantos e quais são esses números ?

Devemos encontrar "a" e "b" inteiros nao-negativos.
Como
(10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3
posso FATORAR o segundo membro assim :
a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2)
colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica :
(10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2)
como a + b > 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois
digitos ) posso 
dividir 
tudo por a+b. Vai ficar :

10a + b = a² - ab + b²

reduzindo os termos semelhantes

a² - (10 + b).a + b² - b = 0
**(o sinal foi trocado aqui acima, no 10 + b)**

E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em "a". O
Discriminante e :

(10 + b)² - 4*(b² - b)

Simplificando fica : -3b² + 24b + 100

Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em
que o discriminante e um quadrado perfeito e que
implicam num  "a" inteiro positivo. Isso vai 
me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o
problema.
b = 1, 7, 8

b = 1
= -3b² + 24b + 100
= -3 + 24 + 100
= 121

a² - (10 + b).a + b² - b = 0
a² - (10 + 1).a + 1 - 1 = 0
a² - 11a = 0
a = 0, 11


b = 7
= -3b² + 24b + 100
= -3.7² + 24.7 + 100
= 121

a² - (10 + b).a + b² - b = 0
a² - (10 + 7).a + 7² - 7 = 0
a² - 17a + 42 = 0
a = 3, 14


b = 8
= -3b² + 24b + 100
= -3.8² + 24.8 + 100
= 100

a² - (10 + b).a + b² - b = 0
a² - (10 + 8).a + 8² - 8 = 0
a² - 18a + 56 = 0
a = 4, 14

Resposta: 37, 48

Um abraço,

Rafael.


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