Re: [obm-l] questoes importantes

[André <araujoime@xxxxxxxxx>]

> 2. Dois circulos s1 e s2 de centros 01 e 02 intersectam nos pontos A e
> B.Seja M um pnt. qualquer do circulo s1 tal que MA intersecta s2 no ponto
P
> e MB intersecta s2 em Q. Mostre que se o quadrilatero A01B02 é cíclico
então
> AQ e BP intersectam-se m s1.

Solucao:

Acoselho fazeres o desenho.

1- Se  A01B02 e ciclico, entao os angulos AO1B e AO2B sao suplementares,
logo:

AO1B + AO2B = (AO1O2 + BO1O2) + (AO2O1 + BO2O1) = 2*  AO1O2  + 2*  AO2O1  =
pi

AO1O2  + AO2O1  = pi/2 ==> O1AO2 = pi/2 ==> Os circulos sao ortogonais.

2 - Sejam D medio de AB, E de AP e F de AM.
2.1 - DE // BP e DF // BM.
2.2 - Como ADO2E e ADO1F sao ciclicos, pois O2DA = O2EA = pi/2 e O1DA = O1FA
= pi/2.
2.3 - AO2O1  =  DEA = BPA  e AO1O2  =  DFA = BMA, logo MBP = pi/2.

3 - Seja X1 o ponto no qual PB encontra  s1. Como MPX1 e pi/2, entao MX1 e
diametro.

4 - Seja X2 o ponto no qual AQ encontra  s1.
4.1 - APQB e ciclico, assim QAP = pi/2, pois QBP = pi/2.
4.2 - MAQ = QAP = pi/2. Logo MX2 e diametro.

Assim, X1 = X2.


Andre.


> 3.Determine todos os inteiros positivos que podem ser representados de
> maneira unica sob a forma (x^2+y)/(xy+1) onde x e y são inteiros
positivos.
>
> Agradecido desde já!
> Adherbal
>
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