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Pode-se fazer da seguinte forma:
x = (10^(2n) - 1)/9
y = 4*(10^n - 1)/9
x+y+1 = 1/9 * (10^(2n) - 1 + 4*10^n - 4 + 9)
x+y+1 = 1/9 * (10^(2n) + 4*10^n + 4)
x+y+1 = 1/9 * (10^n + 2)^2 = ((10^n + 2)/3)^2
Com isso resta provar que (10^n + 2)/3 é um inteiro:
10 == 1 (mod 3)
=> 10^n == 1 (mod 3)
=> 10^n + 2 == 0 (mod 3)
Portanto, 10^n+2 = 3p, com p inteiro então:
x+y+1 = (3p/3)^2 = p^2
o que completa a demonstração
Até mais
Vinicius Fortuna
----- Original Message -----
From: "Eduardo Wagner" <wagner@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, April 21, 2002 6:06 PM
Subject: [obm-l] Problema do Rafael
Rafael eh aluno da primeira serie do ensino medio
do Colegio Princesa Isabel, no Rio de Janeiro.
Ele me pediu que enviasse a voces o seguinte
problema que ele "inventou".
O numero x eh formado por 2n algarismos iguais a 1.
O numero y eh formado por n algarismos iguais a 4.
Mostre que x + y + 1 eh um quadrado perfeito.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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