Re: [obm-l] Problema do Rafael

[Vinicius José Fortuna <vinicius.fortuna@xxxxxxxxxxxxx>]

Pode-se fazer da seguinte forma:

x = (10^(2n) - 1)/9
y = 4*(10^n - 1)/9

x+y+1 = 1/9 * (10^(2n) - 1 + 4*10^n - 4 + 9)

x+y+1 = 1/9 * (10^(2n) + 4*10^n + 4)

x+y+1 = 1/9 * (10^n + 2)^2 = ((10^n + 2)/3)^2

Com isso resta provar que (10^n + 2)/3 é um inteiro:
10 == 1 (mod 3)
=> 10^n == 1 (mod 3)
=> 10^n + 2 == 0 (mod 3)

Portanto, 10^n+2 = 3p, com p inteiro então:
x+y+1 = (3p/3)^2 = p^2
o que completa a demonstração

Até mais

Vinicius Fortuna


----- Original Message -----
From: "Eduardo Wagner" <wagner@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, April 21, 2002 6:06 PM
Subject: [obm-l] Problema do Rafael


> Rafael eh aluno da primeira serie do ensino medio
> do Colegio Princesa Isabel, no Rio de Janeiro.
> Ele me pediu que enviasse a voces o seguinte
> problema que ele "inventou".
> O numero x eh formado por 2n algarismos iguais a 1.
> O numero y eh formado por n algarismos iguais a 4.
> Mostre que x + y + 1 eh um quadrado perfeito.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> =========================================================================
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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