Re: [obm-l] ajuda importante

["marcelo oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

>>
>>  Olá pessoal, será que alguém poderia me ajudar nessas questões da
>>eureka! 12?
>>
>>1.Determine todos os primos p,q tais que pq divida o nº
>>(5^p -2^q)(5^q  -2^p)

O enunciado que você colocou está errado!!! O certo (e a solução) é:

Determine todos os números primos p e q para os quais
(5^p – 2^p)(5^q – 2^q)/pq  é um inteiro.

Solução:

Seja p um número primo e p| (5^p – 2^p)
Pelo corolário do Teorema de Fermat temos que
5^p == 5 (mod. p)   e   2^p == 2 (mod. p)   =>
5^p – 2^p == 3 (mod. p)   =>   p = 3
Então se p e q são números primos tal que
(5^p – 2^p)(5^q – 2^q)/pq  é um inteiro e se
p | (5^p – 2^p), então p = 3.
Como  5^3 – 2^3 = 3^2.13  e  q | (5^q – 2^q), então q = 3 ou q = 13
Assim os pares (3, 3), (3, 13), (13, 3) satisfazem o enunciado
Analisemos agora para p diferente de 3 e q diferente de 3.
Agora  p | (5^q – 2^q)  e  q | (5^p – 2^p)
Assumamos que p > q  e  claramente mdc (p, q – 1) = 1.
Assim existem inteiros positivos a e b tais que  ap – b(q – 1) = 1
Desde que mdc (q, 5) = mdc (q, 2) = 1  =>
5^(q – 1) == 1 (mod. q)   e   2^(q – 1) == 1 (mod. q)   =>
5^(q – 1) == 2^(q – 1) (mod. q)
Como  5^p == 2^p (mod. q)   =>   5^(ap) == 2^(ap) (mod. q)   =>
5^(b(q – 1) + 1) == 2^(b(q – 1) + 1) (mod. q)    (1)
5^(q – 1) == 1 (mod. q)   =>   5^(b(q – 1)) == 1 (mod. q)   =>
5^(b(q – 1) + 1) == 5 (mod. q)    (2)
Do mesmo modo  2^(b(q – 1) + 1) == 2 (mod. q)    (3)
(1), (2) e (3)   =>   q = 3   que é uma contradição
Então as únicas respostas são (3, 3), (3, 13), (13, 3).


>>5.Determine n inteiro tal que n^2 +2 divida 2+2001n

Inicialmente calculemos os possíveis valores de d = mdc (n^2 + 2, 2 + 
2001.n).
Desde que   d | n^2 + 2   e   d | 2 + 2001.n
=>   d | (2 + 2001.n)^2 – 2001(n^2 + 2)   =>
d | 4 + 4.2001.n + 2001^2.n^2 – 2001^2.n^2 – 2.2001^2   =>
d | 4.2001.n – 2.2001^2 + 4
Assim:  d | 4(2 + 2001.n) – (4.2001.n – 2.2001^2 + 4)   =>
d | 2(2001^2 + 2)   =>   d | 2.19.83.2539
Como n^2 + 2 | 2 + 2001.n  então
mdc (n^2 + 2, 2 + 2001.n) = n^2 + 2   =>
n^2 + 2 | 2.19.83.2539
Por outro lado, devemos ter  n^2 + 2 <= 2 + 2001.n   =>   n <= 2001.
Portanto, temos as seguintes possibilidades para n^2 + 2:
   i) n^2 + 2 = 2   =>   n = 0
  ii) n^2 + 2 = 19   =>   não existe n natural que satisfaz
iii) n^2 + 2 = 83   =>   n = 9
iv) n^2 + 2 = 2.19   =>   n = 6
  v) n^2 + 2 = 2.83   =>   não existe n natural que satisfaz
  vi) n^2 + 2 = 19.83   =>   não existe n natural que satisfaz
vii) n^2 + 2 = 19.83.2539   =>   n = 2001
viii) n^2 + 2 = 2.19.2539   =>   não existe n natural que satisfaz
  ix) n^2 + 2 = 2.83.2539   =>   não existe n natural que satisfaz
   x) n^2 + 2 = 19.2539   =>   não existe n natural que satisfaz
  xi) n^2 + 2 = 83.2539   =>   não existe n natural que satisfaz
xii) n^2 + 2 = 2.2539   =>   não existe n natural que satisfaz
Portanto:  n = {0, 6, 9, 2001}


>>
>>  Muito Obrigada!
>>   Fê
>


Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira

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