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["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Mar 23, 2002 at 03:03:39PM -0300, Marcelo Ferreira wrote:
>   Aproveitando o ensejo, j� que se falou em teorema fundamental da �lgebra,
> algu�m sabe quantas demonstra��es distintas foram dadas por Gauss e qual a
> demonstra��o conhecida nos dias atuais que chega mais perto de uma
> demonstra��o exclusivamente alg�brica?

Gauss provou --- em ess�ncia --- o seguinte teorema, enunciado aqui
em linguagem mais moderna. Estes resultados s�o considerados �lgebra pura
pelo conceito moderno de �lgebra.

  Defini��o:

  Seja K um corpo ordenado. Se K satisfaz as seguintes condi��es:
     (a) se x > 0 pertence a K ent�o existe y em K com y^2 = x;
     (b) todo polin�mio de grau �mpar com coeficientes em K admite raiz em K;
  ent�o K � chamado de corpo real fechado.

  Teorema:

  Se K � um corpo real fechado ent�o K[i] � algebricamente fechado.

Assim podemos dar uma demonstra��o quase exclusivamente alg�brica,
os �nicos lugares em que usamos a hip�tese de R ser completo
n�o envolvem nada que um aluno de c�lculo 1 n�o entenda.

Isso tudo est� explicado em datalhes no livro de �lgebra do Van der Waerden,
entre outros.

[]s, N.

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