[obm-l] Re: [obm-l] Re:

[bmat@xxxxxxxxxxxxxx]

Essa (e outras mais legais) aparecem na lista de treinamento pra IMO de
desigualdades do ano passado (que eu tenho :) )

Depois eu mando, que eu estou estudando séries infinitas... não adianta
só aprender o que vai na olimpíada: tem que aprender mais coisas

Falows.

-- Mensagem original --

>Voce conhece a desigualdade do rearranjo*? Eh uma das mais legais que eu
>ja
>vi. Alem de super util, ela tem um apelo intuitivo bem razoavel... E eh
>baseado nela que eu vou dar aqui a minha atual demonstracao favorita da
>desigualdade das medias.. Ainda nao vi isso escrito, portanto ha chances
>de
>eu estar me enganando em algo.. Gostaria que o pessoal desse uma lida a
cata
>de erros!
>Vou provar aqui o caso n=3. Para o caso geral vc repete a mesma ideia,
>aumentando o numero de variaveis apenas..
>Suponha, s.p.g (pois a desigualdade eh simetrica) que x>y>z (vou omitir
o
>sinal de igual por preguica). Entao,
>x^(1/3) > y^(1/3) > z^(1/3).  Pela desigualdade do rearranjo (do lado esq.
>vc tem 3 sequencias nao-crescentes, enquanto que no lado direito esse nao
>eh
>necessariamente o caso).:
>
>[x^(1/3)     y^(1/3)    z^(1/3)]                   [x^(1/3)     y^(1/3)
>z^(1/3)]
>[x^(1/3)     y^(1/3)    z^(1/3)]        >=       [y^(1/3)     z^(1/3)
>x^(1/3)]
>[x^(1/3)     y^(1/3)    z^(1/3)]                   [z^(1/3)     x^(1/3)
>y^(1/3)]
>
>ou seja, x+y+z > 3(xyz)^(1/3). A igualdade vale se as tres sequencias do
>lado direito forem nao crescentes, i.e, se x=y=z.
>
>A notacao matricial acima tenta imitar um produto escalar (como no livro
>do
>Engel, pra quem conhece), no sentido que
>[a1    a2    a3]
>[b1    b2    b3]         =        a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3
>[c1    c2    c3]
>
>*A desigualdade do rearranjo (generalizada ?) diz que se (a_n), (b_n),
(c_n)
>(podem ser mais sequencias) sao permutacoes das sequencias de reais
>positivos (x_n), (y_n), (z_n) entao dentre as somas do tipo:
>S = Soma_em_i:(a_i*b_i*c_i)
>a de valor maximo ocorre quando as sequencias (a_n), (b_n), (c_n) estao
>ordenadas igual (i.e, todas as tres monotonas crescentes ou todas
>decrescentes).
>O resultado pode ser estendido para um numero arbitrario de sequencias.
>O sentido intuitivo disso geralmente eh comentado com o nome de "algoritmo
>ganancioso". Por exemplo, suponha que vc tenha 3 caixas, com varias notas
>de
>5, 10, 100 reais.
>Voce deve pegar um pacote de 3 notas de uma caixa, 4 da outra e 5 de outra.
>Feito isso, vc encontra tres maquinas multiplicadoras de dinheiro (horrivel
>essa neh? eh q essa eu tive de inventar :)). Cada uma soh pode ser usada
>com
>um pacote. A primeira multiplica qq quantia por 2, a 2a por 5 e a 3a por
>10.
>Pergunta: Como vc deve fazer pra ganhar o maximo de dinheiro com essa
>brincadeira?
>Sem pensar mto, vc provavelmente pegaria um pacote de 5 notas de 100 e
o
>colocaria na maquina que multiplica por 10.. Depois vc pegava um pacote
de
>4
>de 10 e o colocaria na multiplicadora por 5..
>Viu? Isso eh exatamente a desigualdade do rearranjo pra tres sequencias
>(cada uma com tres numeros).
>
>Fica aqui uma pergunta pro pessoal da lista: Embora eu ja tenha visto
>referencias a essa versao generalizada da desigualdade do rearranjo (com
>mais de duas sequencias), eu nao estou conseguindo formalizar uma prova
pra
>isso.. Alguem pode me dar ideias?
>
>Abracos,
>Marcio
>
>----- Original Message -----
>From: <asselin@zipmail.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Monday, February 11, 2002 11:16 AM
>
>
>> Sejam x, y, z reais positivos. Prove:
>>
>> (x+y+z)/3 >= 3rd root de (xyz)
>>
>> Depois generalize para n reais.
>> O caso para n=2 eh o mais simples.
>> Como provar sem se basear neste caso?
>> Alguem usaria o Polinomio de Leibniz ?
>>
>> Abracos,
>> Asselin.
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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