[obm-l] Re:

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Voce conhece a desigualdade do rearranjo*? Eh uma das mais legais que eu ja
vi. Alem de super util, ela tem um apelo intuitivo bem razoavel... E eh
baseado nela que eu vou dar aqui a minha atual demonstracao favorita da
desigualdade das medias.. Ainda nao vi isso escrito, portanto ha chances de
eu estar me enganando em algo.. Gostaria que o pessoal desse uma lida a cata
de erros!
Vou provar aqui o caso n=3. Para o caso geral vc repete a mesma ideia,
aumentando o numero de variaveis apenas..
Suponha, s.p.g (pois a desigualdade eh simetrica) que x>y>z (vou omitir o
sinal de igual por preguica). Entao,
x^(1/3) > y^(1/3) > z^(1/3).  Pela desigualdade do rearranjo (do lado esq.
vc tem 3 sequencias nao-crescentes, enquanto que no lado direito esse nao eh
necessariamente o caso).:

[x^(1/3)     y^(1/3)    z^(1/3)]                   [x^(1/3)     y^(1/3)
z^(1/3)]
[x^(1/3)     y^(1/3)    z^(1/3)]        >=       [y^(1/3)     z^(1/3)
x^(1/3)]
[x^(1/3)     y^(1/3)    z^(1/3)]                   [z^(1/3)     x^(1/3)
y^(1/3)]

ou seja, x+y+z > 3(xyz)^(1/3). A igualdade vale se as tres sequencias do
lado direito forem nao crescentes, i.e, se x=y=z.

A notacao matricial acima tenta imitar um produto escalar (como no livro do
Engel, pra quem conhece), no sentido que
[a1    a2    a3]
[b1    b2    b3]         =        a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3
[c1    c2    c3]

*A desigualdade do rearranjo (generalizada ?) diz que se (a_n), (b_n), (c_n)
(podem ser mais sequencias) sao permutacoes das sequencias de reais
positivos (x_n), (y_n), (z_n) entao dentre as somas do tipo:
S = Soma_em_i:(a_i*b_i*c_i)
a de valor maximo ocorre quando as sequencias (a_n), (b_n), (c_n) estao
ordenadas igual (i.e, todas as tres monotonas crescentes ou todas
decrescentes).
O resultado pode ser estendido para um numero arbitrario de sequencias.
O sentido intuitivo disso geralmente eh comentado com o nome de "algoritmo
ganancioso". Por exemplo, suponha que vc tenha 3 caixas, com varias notas de
5, 10, 100 reais.
Voce deve pegar um pacote de 3 notas de uma caixa, 4 da outra e 5 de outra.
Feito isso, vc encontra tres maquinas multiplicadoras de dinheiro (horrivel
essa neh? eh q essa eu tive de inventar :)). Cada uma soh pode ser usada com
um pacote. A primeira multiplica qq quantia por 2, a 2a por 5 e a 3a por 10.
Pergunta: Como vc deve fazer pra ganhar o maximo de dinheiro com essa
brincadeira?
Sem pensar mto, vc provavelmente pegaria um pacote de 5 notas de 100 e o
colocaria na maquina que multiplica por 10.. Depois vc pegava um pacote de 4
de 10 e o colocaria na multiplicadora por 5..
Viu? Isso eh exatamente a desigualdade do rearranjo pra tres sequencias
(cada uma com tres numeros).

Fica aqui uma pergunta pro pessoal da lista: Embora eu ja tenha visto
referencias a essa versao generalizada da desigualdade do rearranjo (com
mais de duas sequencias), eu nao estou conseguindo formalizar uma prova pra
isso.. Alguem pode me dar ideias?

Abracos,
Marcio

----- Original Message -----
From: <asselin@zipmail.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, February 11, 2002 11:16 AM


> Sejam x, y, z reais positivos. Prove:
>
> (x+y+z)/3 >= 3rd root de (xyz)
>
> Depois generalize para n reais.
> O caso para n=2 eh o mais simples.
> Como provar sem se basear neste caso?
> Alguem usaria o Polinomio de Leibniz ?
>
> Abracos,
> Asselin.


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