Re: [obm-l] Re:

["Jose Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Minha demonstracao favorita da desigualdade das medias eh a seguinte
(vou fazer para 3 numeros):

Sejam x, y, z tres numeros positivos.
Chame de A a sua media aritmetica e de P o seu produto.
Se x=y=z, entao P=A^3.
Caso contrario, existirah um menor m e um maior M (ainda pode haver 2
iguais, eh claro),
e necessariamente m<A<M (facil provar).
Imagine entao a lista dos 3 numeros ordenada em ordem crescente (sem perda
de generalidae, suponha x<=y<=z, com x=m<z=M).
Substitua agora o menor x=m por A e o maior z=M por x+z-A, isto eh, a nova
lista eh:
A, y, x+z-A.
Para esta segunda lista, a media aritmetica continua sendo A, enquanto o
novo produto eh
P'=Ay(x+z-A).
Este novo produto eh maior que o produto anterior P (aqui estah o segredo),
pois
P'-P=Ay(x+z-A)-xyz = y(z-A)(A-x)>0.

Examinemos entao a segunda lista e apliquemos a ela o mesmo raciocinio:
se os 3 forem iguais, serao iguais a A (este caso corresponde ao caso de 2
iguais na primeira lista). Caso contrario, ha um menor m' e um maior M'.
Nenhum desses 2 pode ser igual a A, ja que m'<A<M', como acima.
Logo, a nova lista, quando ordenada, serah m', A, M', com m'+M'=2A.
Substitui-se novamente m' por A e M' por m'+M'-A=A.
Como acima, esta terceira lista tem produto P''>P'>P.
So que a lista agora eh A, A, A, ou seja P''=A^3.
Temos entao: P=xyz < P'' = A^3 = [(x+y+z)/3]^3.

Como vimos, se os 3 da lista fossem iguais, teriamos a igualdade.
Conclusao: Raiz cubica de xyz eh menor que ou igual a (x+y+z)/3

Obs.1: no caso de n numeros, ha que provar (uitlizando o Principio da Boa
Ordenacao) que a lista vai acabar (no fim de quantos passos?) tendo todos os
termos iguais.
Obs.2: do ponto de vista didatico, aconselha-se ao principiante praticar
primeiro com listas concretas.

JP






----- Original Message -----
From: <asselin@zipmail.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, February 11, 2002 11:16 AM


> Sejam x, y, z reais positivos. Prove:
>
> (x+y+z)/3 >= 3rd root de (xyz)
>
> Depois generalize para n reais.
> O caso para n=2 eh o mais simples.
> Como provar sem se basear neste caso?
> Alguem usaria o Polinomio de Leibniz ?
>
> Abracos,
> Asselin.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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