Re: [obm-l] Teorema de Fermat

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 18:30 30/01/02 +0000, you wrote:

>Me deixa eu ver se entendi. A função zeta(s) NÃO é  soma(1/n^s),  senão 
>ela não estaria definida para todo s complexo. Mas ela é uma extensão de 
>soma(1/n^s) onde está definida, para todo plano complexo. É isso? Nós 
>vamos estudar isso em funções analíticas?

Não sei bem o que vamos ver no curso de funções analíticas, mas acho que 
não se fala da função zeta.

>  Isso (a hipótese de Riemann) me parece mais um problema de análise do 
> que de teoria dos números. Por que é considerado teoria dos números?

Porque sim.

Bruno
....
....
....
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Ok, vou falar sério. Euler foi o primeiro a ver uma ligação entre a função 
zeta e a teoria dos números, quando ele achou a fatoração "mágica" abaixo: 
(para re(s)>1, obviamente)

zeta(s)=soma(1/n^s,n=1,2,3...)=produto_{sobre todos os primos p} 
(1+1/p^s+1/p^{2s}+1/p^{3s}+...)

Você consegue provar a fórmula acima? (ou ao menos ver que ela tem "cara de 
ser verdadeira"?)

Aliás a soma 1+1/p^s+1/p^{2s}+1/p^{3s}+... é soma de PG, logo,

zeta(s)=produto_{sobre todos os primos p}  1/(1-p^{-s})

Considere zeta(s) como função de uma variável real definida em 
(1,infinito). Ela é contínua e lim zeta(s) para s->1 é infinito...(série 
harmonica diverge...)

A partir daí Euler deduziu que existem infinitos primos...não é difícil !

Abraço,

Bruno Leite

PS mas é claro que existem mais ligações entre zeta e teoria dos números!!!

(...)

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