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Re: [obm-l] Teorema de Fermat
Me deixa eu ver se entendi. A função zeta(s) NÃO é soma(1/n^s), senão ela
não estaria definida para todo s complexo. Mas ela é uma extensão de
soma(1/n^s) onde está definida, para todo plano complexo. É isso? Nós vamos
estudar isso em funções analíticas?
Isso (a hipótese de Riemann) me parece mais um problema de análise do que
de teoria dos números. Por que é considerado teoria dos números?
>From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
>Date: Mon, 28 Jan 2002 23:38:39 -0200
>
>At 21:27 28/01/02 +0000, you wrote:
>>Como? zeta(-2)=1^2+2^2+3^2+4^2+...=0 ??????????
>
>Sim, é isso mesmo, não é surpreendente?
>
>
>
>
>
>É brincadeira! Isto está errado!!!
>
>A série zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo) SÓ CONVERGE
>PARA Re(s)>1, LOGO SÓ DEFINE UMA FUNÇÃO PARA Re(s)>1!!!
>
>Já vou explicar isto melhor.
>
>>Isso nem com a lógica paraconsistente consigo entender!!!
>>Pode me explicar o que vc quer dizer com essa "extensão para todo o plano
>>complexo" (desculpe minha ignorância em teoria dos números e/ou análise
>>complexa, mas não sei o que é holomorfa, pólo nem continuação analítica).
>>Se a fórmula de zeta é a fórmula q vc mencionou, e a exponenciação por
>>complexo é a que eu conheço (expansão pelo polinômio de Taylor da função
>>e^x, não consigo imaginar nenhuma raíz "trivial". O q me parece imediato é
>>que não possui raiz real (a parte imaginária não pode ser nula) posi sei
>>que a função a^x (a>0) não tem raiz real.
>
>Imagine uma função f:(disco unitário aberto de R^2) -> R, derivável,
>digamos f(x,y)=x+10. Veja que podemos estender esta função de vários modos
>(e deixando a extensão ainda derivável) para um domínio maior, digamos R^2.
>Por exemplo, podemos definir g:R^2->R por g(x,y)=x+10, mas há vários outros
>jeitos, do tipo
>
>g(x,y)=x+10 se x<=1
>g(x,y)=x^2/2+10,5 se x>1
>
>Quando trocamos funções R^2->R por funções de C em C, isto nao acontece.
>Por exemplo, se temos uma função do disco unitário aberto do plano complexo
>em C que é HOLOMORFA (holomorfa=derivável) SÓ HÁ UM MODO DE ESTENDÊ-LA PARA
>UMA FUNÇÃO HOLOMORFA DE DOMÍNIO MAIOR. (um outro exemplo: se f é holomorfa
>e conhecemos f na fronteira de um círculo, f já está determinada dentro do
>círculo. - o que é fantástico, aliás...)
>
>Veja, temos uma função (zeta) definida para Re(s)>1, ok? Ela é holomorfa no
>semiplano {z complexo | Re(z)>1}, e pode ser estendida DE UMA ÚNICA FORMA
>para uma função holomorfa no plano todo, digamos rogerio(s). Isso é a
>continuação analítica!!! [na verdade ela não vai ser analítica no plano
>todo, ela vai ter um ponto em que ela "explode" - UM POLO - em s=1]
>
>Se re(s)>1, rogerio(s)=zeta(s)=soma(1/n^s), certo?
>E se re(s)<1?????? Embora a série de zeta não faça sentido, a função
>rogerio(s) está definida!!!
>Oras, então DEFINIMOS, para re(s)<1, zeta(s)=rogerio(s).
>
>Só para ser o mais repetitivo possível: zeta(s) só coincide com a série
>soma (1/n^s) se Re(s)>1!!!!
>Logo zeta(-2) NAO É e NEM PODERIA SER 1^2+2^2+3^2...
>
>Ah, e a exponenciação com complexos de fato é a da série de Taylor, mas é
>mais fácil pensar em exp(a+bi)=e^a(cos b +i sen b). Como vc falou, é óbvio
>que zeta não tem raízes nos reais >1, mas não é TAO fácil ver que ela não
>se anula em todo o semiplano re(s)>1.
>
>Espero ter deixado as coisas mais claras, assim como espero não ter dito
>nenhuma asneira!
>
>Bruno Leite
>www.ime.usp.br/~brleite
>
>
>>Outro abração,
>> Rogério
>>
>>>From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
>>>Date: Mon, 28 Jan 2002 03:04:31 -0200
>>>
>>>At 00:46 28/01/02 +0000, you wrote:
>>>
>>>>Quais são as "raízes triviais" da função zeta?
>>>
>>>Olá Rogério Godel Júnior,
>>>
>>>A função zeta é definida inicialmente pela equação
>>>
>>>zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo)
>>>
>>>Esta série converge se e só se a parte real de s é>1. No semiplano (z
>>>complexo | Re(z)>1} não é difícil ver que zeta(s) NUNCA se anula.
>>>
>>>de fato, temos soma(mu(n)/n^s),n=1,2,...infinito = 1/zeta(s) !!!
>>>
>>>(para saber o que é mu(n), consulte o email do Nicolau que está indo
>>>junto
>>>com este email...lá embaixo)
>>>
>>>Lembro-me de que quando aprendi esta fórmula acima (donde segue que zeta
>>>nunca se anula) pensei que a hipótese de Riemann não fazia o menor
>>>sentido.
>>>Afinal, ela dia que os zeros não triviais (mas zeta não se anula!?) de
>>>zeta(s) têm parte real =1/2 (mas, se Re(s)=1/2, a série nem ao menos
>>>converge!!!! )
>>>
>>>Mas é claro que eu estava errado. Pode-se estender a definição de zeta
>>>para
>>>todo o plano complexo (holomorfa, com um pólo em s=1) por continuação
>>>analítica, e agora sim a função zeta tem raízes e faz sentido falar de
>>>zeta(1/2+bi)...
>>>
>>>Pode-se provar que vale o seguinte:
>>>
>>>$\zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s} \gamma(s)\cos(s\pi /2)\zeta(s)$
>>>
>>>(onde gamma é aquela função que o professor de estatística usava, lembra?
>>>-
>>>a que "generaliza" o fatorial)
>>>
>>>Se vc botar s=2n+1 (n>1 natural) na formula acima, vai descobri que
>>>zeta(-2)=zeta(-4)=zeta(-6)=...=0
>>>
>>>Os inteiros pares negativos são chamados "zeros triviais" de zeta.
>>>
>>>Infelizmente, vc não vai achar isso num livro de lógica modal... Eu acho
>>>melhor vc consultar o apostol de teoria analíica dos números...
>>>
>>>Abração
>>>
>>>Bruno Leite
>>>www.ime.usp.br/~brleite (a rede ime está fora do ar nesse fim de semana)
>>>
>
>
>
>(...) O email era longo, eu cortei
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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