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Re: [obm-l] Teorema de Fermat
At 21:27 28/01/02 +0000, you wrote:
>Como? zeta(-2)=1^2+2^2+3^2+4^2+...=0 ??????????
Sim, é isso mesmo, não é surpreendente?
É brincadeira! Isto está errado!!!
A série zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo) SÓ CONVERGE
PARA Re(s)>1, LOGO SÓ DEFINE UMA FUNÇÃO PARA Re(s)>1!!!
Já vou explicar isto melhor.
>Isso nem com a lógica paraconsistente consigo entender!!!
>Pode me explicar o que vc quer dizer com essa "extensão para todo o plano
>complexo" (desculpe minha ignorância em teoria dos números e/ou análise
>complexa, mas não sei o que é holomorfa, pólo nem continuação analítica).
>Se a fórmula de zeta é a fórmula q vc mencionou, e a exponenciação por
>complexo é a que eu conheço (expansão pelo polinômio de Taylor da função
>e^x, não consigo imaginar nenhuma raíz "trivial". O q me parece imediato é
>que não possui raiz real (a parte imaginária não pode ser nula) posi sei
>que a função a^x (a>0) não tem raiz real.
Imagine uma função f:(disco unitário aberto de R^2) -> R, derivável,
digamos f(x,y)=x+10. Veja que podemos estender esta função de vários modos
(e deixando a extensão ainda derivável) para um domínio maior, digamos R^2.
Por exemplo, podemos definir g:R^2->R por g(x,y)=x+10, mas há vários outros
jeitos, do tipo
g(x,y)=x+10 se x<=1
g(x,y)=x^2/2+10,5 se x>1
Quando trocamos funções R^2->R por funções de C em C, isto nao acontece.
Por exemplo, se temos uma função do disco unitário aberto do plano complexo
em C que é HOLOMORFA (holomorfa=derivável) SÓ HÁ UM MODO DE ESTENDÊ-LA PARA
UMA FUNÇÃO HOLOMORFA DE DOMÍNIO MAIOR. (um outro exemplo: se f é holomorfa
e conhecemos f na fronteira de um círculo, f já está determinada dentro do
círculo. - o que é fantástico, aliás...)
Veja, temos uma função (zeta) definida para Re(s)>1, ok? Ela é holomorfa no
semiplano {z complexo | Re(z)>1}, e pode ser estendida DE UMA ÚNICA FORMA
para uma função holomorfa no plano todo, digamos rogerio(s). Isso é a
continuação analítica!!! [na verdade ela não vai ser analítica no plano
todo, ela vai ter um ponto em que ela "explode" - UM POLO - em s=1]
Se re(s)>1, rogerio(s)=zeta(s)=soma(1/n^s), certo?
E se re(s)<1?????? Embora a série de zeta não faça sentido, a função
rogerio(s) está definida!!!
Oras, então DEFINIMOS, para re(s)<1, zeta(s)=rogerio(s).
Só para ser o mais repetitivo possível: zeta(s) só coincide com a série
soma (1/n^s) se Re(s)>1!!!!
Logo zeta(-2) NAO É e NEM PODERIA SER 1^2+2^2+3^2...
Ah, e a exponenciação com complexos de fato é a da série de Taylor, mas é
mais fácil pensar em exp(a+bi)=e^a(cos b +i sen b). Como vc falou, é óbvio
que zeta não tem raízes nos reais >1, mas não é TAO fácil ver que ela não
se anula em todo o semiplano re(s)>1.
Espero ter deixado as coisas mais claras, assim como espero não ter dito
nenhuma asneira!
Bruno Leite
www.ime.usp.br/~brleite
>Outro abração,
> Rogério
>
>>From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
>>Date: Mon, 28 Jan 2002 03:04:31 -0200
>>
>>At 00:46 28/01/02 +0000, you wrote:
>>
>>>Quais são as "raízes triviais" da função zeta?
>>
>>Olá Rogério Godel Júnior,
>>
>>A função zeta é definida inicialmente pela equação
>>
>>zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo)
>>
>>Esta série converge se e só se a parte real de s é>1. No semiplano (z
>>complexo | Re(z)>1} não é difícil ver que zeta(s) NUNCA se anula.
>>
>>de fato, temos soma(mu(n)/n^s),n=1,2,...infinito = 1/zeta(s) !!!
>>
>>(para saber o que é mu(n), consulte o email do Nicolau que está indo junto
>>com este email...lá embaixo)
>>
>>Lembro-me de que quando aprendi esta fórmula acima (donde segue que zeta
>>nunca se anula) pensei que a hipótese de Riemann não fazia o menor sentido.
>>Afinal, ela dia que os zeros não triviais (mas zeta não se anula!?) de
>>zeta(s) têm parte real =1/2 (mas, se Re(s)=1/2, a série nem ao menos
>>converge!!!! )
>>
>>Mas é claro que eu estava errado. Pode-se estender a definição de zeta para
>>todo o plano complexo (holomorfa, com um pólo em s=1) por continuação
>>analítica, e agora sim a função zeta tem raízes e faz sentido falar de
>>zeta(1/2+bi)...
>>
>>Pode-se provar que vale o seguinte:
>>
>>$\zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s} \gamma(s)\cos(s\pi /2)\zeta(s)$
>>
>>(onde gamma é aquela função que o professor de estatística usava, lembra? -
>>a que "generaliza" o fatorial)
>>
>>Se vc botar s=2n+1 (n>1 natural) na formula acima, vai descobri que
>>zeta(-2)=zeta(-4)=zeta(-6)=...=0
>>
>>Os inteiros pares negativos são chamados "zeros triviais" de zeta.
>>
>>Infelizmente, vc não vai achar isso num livro de lógica modal... Eu acho
>>melhor vc consultar o apostol de teoria analíica dos números...
>>
>>Abração
>>
>>Bruno Leite
>>www.ime.usp.br/~brleite (a rede ime está fora do ar nesse fim de semana)
>>
(...) O email era longo, eu cortei
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