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Re: [obm-l] Teorema de Fermat
Como? zeta(-2)=1^2+2^2+3^2+4^2+...=0 ?????????? Isso nem com a lógica
paraconsistente consigo entender!!!
Pode me explicar o que vc quer dizer com essa "extensão para todo o plano
complexo" (desculpe minha ignorância em teoria dos números e/ou análise
complexa, mas não sei o que é holomorfa, pólo nem continuação analítica). Se
a fórmula de zeta é a fórmula q vc mencionou, e a exponenciação por complexo
é a que eu conheço (expansão pelo polinômio de Taylor da função e^x, não
consigo imaginar nenhuma raíz "trivial". O q me parece imediato é que não
possui raiz real (a parte imaginária não pode ser nula) posi sei que a
função a^x (a>0) não tem raiz real.
Outro abração,
Rogério
>From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
>Date: Mon, 28 Jan 2002 03:04:31 -0200
>
>At 00:46 28/01/02 +0000, you wrote:
>
>>Quais são as "raízes triviais" da função zeta?
>
>Olá Rogério Godel Júnior,
>
>A função zeta é definida inicialmente pela equação
>
>zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo)
>
>Esta série converge se e só se a parte real de s é>1. No semiplano (z
>complexo | Re(z)>1} não é difícil ver que zeta(s) NUNCA se anula.
>
>de fato, temos soma(mu(n)/n^s),n=1,2,...infinito = 1/zeta(s) !!!
>
>(para saber o que é mu(n), consulte o email do Nicolau que está indo junto
>com este email...lá embaixo)
>
>Lembro-me de que quando aprendi esta fórmula acima (donde segue que zeta
>nunca se anula) pensei que a hipótese de Riemann não fazia o menor sentido.
>Afinal, ela dia que os zeros não triviais (mas zeta não se anula!?) de
>zeta(s) têm parte real =1/2 (mas, se Re(s)=1/2, a série nem ao menos
>converge!!!! )
>
>Mas é claro que eu estava errado. Pode-se estender a definição de zeta para
>todo o plano complexo (holomorfa, com um pólo em s=1) por continuação
>analítica, e agora sim a função zeta tem raízes e faz sentido falar de
>zeta(1/2+bi)...
>
>Pode-se provar que vale o seguinte:
>
>$\zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s} \gamma(s)\cos(s\pi /2)\zeta(s)$
>
>(onde gamma é aquela função que o professor de estatística usava, lembra? -
>a que "generaliza" o fatorial)
>
>Se vc botar s=2n+1 (n>1 natural) na formula acima, vai descobri que
>zeta(-2)=zeta(-4)=zeta(-6)=...=0
>
>Os inteiros pares negativos são chamados "zeros triviais" de zeta.
>
>Infelizmente, vc não vai achar isso num livro de lógica modal... Eu acho
>melhor vc consultar o apostol de teoria analíica dos números...
>
>Abração
>
>Bruno Leite
>www.ime.usp.br/~brleite (a rede ime está fora do ar nesse fim de semana)
>
>
>>>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
>>>Date: Wed, 23 Jan 2002 12:54:08 -0200
>>>
>>>On Wed, Jan 23, 2002 at 07:58:54AM -0500, DEOLIVEIRASOU@aol.com wrote:
>>> > Muito obrigado Ralph pelos comentarios sobre o enigma( ex) de Fermat.
>>> > No livro simon Singh chamava o enigma de santo graal da matemática,
>>> > classificando-o como o mais dificil de todos os tempos. Se o parâmetro
>>>for os
>>> > gênios que o tentaram resolver eu concordo, mas se fosse o tempo nâo.
>>>Lembra
>>> > dos tres antigos problemas clássicos? . A quadratura do circulo,
>>>trissecção
>>> > do angulo e duplicação do cubo( com régua e compasso), levaram mais de
>>>1600
>>> > anos , até mostrarem que são problemas insolúveis.Qual o melhor
>>>parâmetro pra
>>> > julgar se este ou aquele problema é o mais dificil de todos os tempos?
>>>Existe
>>> > algo , hoje em dia, em qualquer área, que substitua o ultimo teorema
>>>de
>>> > fermat??
>>>
>>>Em termos de antiguidade, os campeões absolutos, vindos desde a
>>>antiguidade
>>>e em aberto até hoje, são: o problema da existência de números perfeitos
>>>ímpares e o da infinitude do número de números perfeitos pares.
>>>
>>>Lembro que um inteiro positivo n é perfeito se a soma dos divisores
>>>inteiros positivos de n menores do que n for n.
>>>Os menores números perfeitos são
>>>
>>> 6 = 2^1 (2^2 - 1) = 1 + 2 + 3
>>> 28 = 2^2 (2^3 - 1) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
>>> 496 = 2^4 (2^5 - 1) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
>>>
>>>Não é difícil demostrar que n par é perfeito se e somente se n é na forma
>>>n = 2^(p-1) (2^p - 1) onde Mp = 2^p - 1 é primo (um primo de Mersenne).
>>>Ninguém sabe se existe algum número perfeito ímpar e ninguém sabe
>>>demonstrar que existem infinitos primos de Mersenne (donde infinitos
>>>números perfeitos pares).
>>>
>>>Este problema apesar de antigo não é considerado muito importante pela
>>>maioria dos matemáticos. O problema em aberto em geral considerado mais
>>>importante (mais importante até do que o último teorema de Fermat) é
>>>a hipótese de Riemann generalizada. Bem, eu devo confessar que não
>>>entendo
>>>tão bem assim pq a hipótese de Riemann é tão importante, não sei o
>>>suficiente sobre as aplicações. Em todo caso a versão clássica
>>>da hipótese de Riemann diz que as raízes (complexas)
>>>não triviais da função zeta estão sobre a reta [(parte real de z) = 1/2].
>>>
>>>Uma versão elementar é a seguinte. Defina
>>>
>>>mu(n) = (-1)^k se n for o produto de k primos distintos;
>>> 0 se n for múltiplo de algum quadrado.
>>>
>>>Os primeiros valores de mu são
>>>
>>>n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
>>>mu(n) 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 -1 1 1 0 -1 0 -1 0
>>>
>>>Defina M(n) como sendo a soma de mu(k), k = 1..n
>>>
>>>n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
>>>M(n) 1 0 -1 -1 -2 -1 -2 -2 -2 -1 -2 -2 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -3 -3
>>>
>>>A hipótese de Riemann consiste em afirmar que para todo a > 1/2 temos
>>>
>>> M(n)
>>> lim -------- = 0
>>> n -> infty n^a
>>>
>>>
>>>[]s, N.
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