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Re: [obm-l] Teorema de Fermat
At 00:46 28/01/02 +0000, you wrote:
>Quais s�o as "ra�zes triviais" da fun��o zeta?
Ol� Rog�rio Godel J�nior,
A fun��o zeta � definida inicialmente pela equa��o
zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s � um complexo)
Esta s�rie converge se e s� se a parte real de s �>1. No semiplano (z
complexo | Re(z)>1} n�o � dif�cil ver que zeta(s) NUNCA se anula.
de fato, temos soma(mu(n)/n^s),n=1,2,...infinito = 1/zeta(s) !!!
(para saber o que � mu(n), consulte o email do Nicolau que est� indo junto
com este email...l� embaixo)
Lembro-me de que quando aprendi esta f�rmula acima (donde segue que zeta
nunca se anula) pensei que a hip�tese de Riemann n�o fazia o menor sentido.
Afinal, ela dia que os zeros n�o triviais (mas zeta n�o se anula!?) de
zeta(s) t�m parte real =1/2 (mas, se Re(s)=1/2, a s�rie nem ao menos
converge!!!! )
Mas � claro que eu estava errado. Pode-se estender a defini��o de zeta para
todo o plano complexo (holomorfa, com um p�lo em s=1) por continua��o
anal�tica, e agora sim a fun��o zeta tem ra�zes e faz sentido falar de
zeta(1/2+bi)...
Pode-se provar que vale o seguinte:
$\zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s} \gamma(s)\cos(s\pi /2)\zeta(s)$
(onde gamma � aquela fun��o que o professor de estat�stica usava, lembra? -
a que "generaliza" o fatorial)
Se vc botar s=2n+1 (n>1 natural) na formula acima, vai descobri que
zeta(-2)=zeta(-4)=zeta(-6)=...=0
Os inteiros pares negativos s�o chamados "zeros triviais" de zeta.
Infelizmente, vc n�o vai achar isso num livro de l�gica modal... Eu acho
melhor vc consultar o apostol de teoria anal�ica dos n�meros...
Abra��o
Bruno Leite
www.ime.usp.br/~brleite (a rede ime est� fora do ar nesse fim de semana)
>>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat
>>Date: Wed, 23 Jan 2002 12:54:08 -0200
>>
>>On Wed, Jan 23, 2002 at 07:58:54AM -0500, DEOLIVEIRASOU@aol.com wrote:
>> > Muito obrigado Ralph pelos comentarios sobre o enigma( ex) de Fermat.
>> > No livro simon Singh chamava o enigma de santo graal da matem�tica,
>> > classificando-o como o mais dificil de todos os tempos. Se o par�metro
>> for os
>> > g�nios que o tentaram resolver eu concordo, mas se fosse o tempo n�o.
>> Lembra
>> > dos tres antigos problemas cl�ssicos? . A quadratura do circulo,
>> trissec��o
>> > do angulo e duplica��o do cubo( com r�gua e compasso), levaram mais de
>> 1600
>> > anos , at� mostrarem que s�o problemas insol�veis.Qual o melhor
>> par�metro pra
>> > julgar se este ou aquele problema � o mais dificil de todos os tempos?
>> Existe
>> > algo , hoje em dia, em qualquer �rea, que substitua o ultimo teorema de
>> > fermat??
>>
>>Em termos de antiguidade, os campe�es absolutos, vindos desde a antiguidade
>>e em aberto at� hoje, s�o: o problema da exist�ncia de n�meros perfeitos
>>�mpares e o da infinitude do n�mero de n�meros perfeitos pares.
>>
>>Lembro que um inteiro positivo n � perfeito se a soma dos divisores
>>inteiros positivos de n menores do que n for n.
>>Os menores n�meros perfeitos s�o
>>
>> 6 = 2^1 (2^2 - 1) = 1 + 2 + 3
>> 28 = 2^2 (2^3 - 1) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
>> 496 = 2^4 (2^5 - 1) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
>>
>>N�o � dif�cil demostrar que n par � perfeito se e somente se n � na forma
>>n = 2^(p-1) (2^p - 1) onde Mp = 2^p - 1 � primo (um primo de Mersenne).
>>Ningu�m sabe se existe algum n�mero perfeito �mpar e ningu�m sabe
>>demonstrar que existem infinitos primos de Mersenne (donde infinitos
>>n�meros perfeitos pares).
>>
>>Este problema apesar de antigo n�o � considerado muito importante pela
>>maioria dos matem�ticos. O problema em aberto em geral considerado mais
>>importante (mais importante at� do que o �ltimo teorema de Fermat) �
>>a hip�tese de Riemann generalizada. Bem, eu devo confessar que n�o entendo
>>t�o bem assim pq a hip�tese de Riemann � t�o importante, n�o sei o
>>suficiente sobre as aplica��es. Em todo caso a vers�o cl�ssica
>>da hip�tese de Riemann diz que as ra�zes (complexas)
>>n�o triviais da fun��o zeta est�o sobre a reta [(parte real de z) = 1/2].
>>
>>Uma vers�o elementar � a seguinte. Defina
>>
>>mu(n) = (-1)^k se n for o produto de k primos distintos;
>> 0 se n for m�ltiplo de algum quadrado.
>>
>>Os primeiros valores de mu s�o
>>
>>n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
>>mu(n) 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 -1 1 1 0 -1 0 -1 0
>>
>>Defina M(n) como sendo a soma de mu(k), k = 1..n
>>
>>n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
>>M(n) 1 0 -1 -1 -2 -1 -2 -2 -2 -1 -2 -2 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -3 -3
>>
>>A hip�tese de Riemann consiste em afirmar que para todo a > 1/2 temos
>>
>> M(n)
>> lim -------- = 0
>> n -> infty n^a
>>
>>
>>[]s, N.
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>>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
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