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Re: Probleminha (ampliacao)
Ola Pessoal,
Um detalhe : O Problema abaixo, apresentado pelo Humberto, nao informa se os
quadrados de lados "a" e "b" podem estar com seus lados inclinados em
relacao aos lados do quadrado original ( de lado unitario ). Eu estou
supondo que exige-se que os quadrados de lados "a" e "b" mantenham os seus
lados paralelos aos lados do quadrado original.
Se eu entendi mal o problema, vale dizer, se se permite que os quadrados de
lados "a" e "b" podem ser inclinados, a solucao fica diferente :
1) Estabeleca um sistema de eixos cartesianos ortogonais. Considere um
quadrado de lado unitario TOTALMENTE DENTRO DO PRIMEIRO QUADRANTE com um
vertice na origem deste sistema de eixos.
Os pares (X,Y) que compoe este quadrado, sao, obviamente , os que satisfazem
as inequacoes : 0 =< X =< 1 e 0 =< Y =< 1
2) Um quadradindo de lado "a" dentro do quadrado acima pode ser
caracterizado univocamente de diversas maneiras. Em particular, pode ser
caracterizado por um par nao-ordenado {(Xa,Ya),M }, onde (Xa,Ya) e o centro
do quadradindo e M a inclinacao de um de seus lados.
3) Os lados do quadradinho estao contidos em equacoes da forma :
Ys=Mx + S, Yi=Mx + I, yi'=(1/M)X + I' e ys'=(1/M)X + S'. Para qualquer
ordenada de um ponto no quadradinho existem duas das retas acima, uma
inferior ( I ou I' ) e outra Superior ( S ou S') tal que
I ( ou I')=< y =< S ( ou S')
4) As abscissas dos pontos que compoe o quadradinho satisfazem uma inequacao
da forma :
A < x < B
( A e B saem facilmente em funcao de M, de "a" e de (Xa,Ya))
Exemplo : a*(sen(M) + cos(M)) e a distancia horizontal entre os vertices
leste e oeste.
5) Os passos acima vao caracterizar um quadrinho como um conjunto de
inequacoes. Montando as inequacoes para o quadradinho de lado "b", Centro
(Xb,Yb) e inclinacao N, mostre que se a+b>1 e (X,Y) varia no quadradinho de
lado unitario, para qualquer M,N existe ao menos um ponto que satisfaz os
dois sistemas de inequacoes.
6) EstE foi um ESBOCO DE SOLUCAO ... "NO BRACO" ! E feia mas e um caminho.
Melhor que nao ter ideia alguma de como encarar o problema. Imagino que ha
alguma forma mais elegante de caracterizar os quadradinhos e, portanto, de
mostrar a necessaria intersecao que eles devem ter. Esta caraterizacao
elelgante, inclusive, serviria para tratar muitos outros problemas
semelhantes. Alguem se habilita ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1544,170102
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Probleminha
>Date: Thu, 17 Jan 2002 15:28:37
>
>Ola Humberto,
>Bem-Vindo !
>
>Se a+b>1 entao a>1-b. Imagine agora um quadrado de lado "b" dentro do
>quadrado de lado 1 ... Qualquer que seja a posicao deste quadrado, o maximo
>que podera sobrar na direcao vertical bem como na horiontal e
>"1-b". Mas a > 1-b. Logo, nao e possivel colocar um outro quadrado de lado
>sem que haja superposicao das figuras.
>
>Se alguem raciocinasse assim, eu aceitaria, mas suspeito que nao e isso que
>voce quer ver ...
>
>Seja um sistema cartesiano ortogal. Imagine um quadrado no primeiro
>quadrante com um vertice na posicao (0,0). Escolha um ponto (X,Y) neste
>quadrado como centro de um quadrado de lado "b". Usando os lados do
>quadrado
>de lado "b" como suporte, trace as quatro retas. Isso vai permitir a voce
>delimitar, no maximo, oito retangulos. Usando o fato de que :
>
>1) a > 1-b
>2) se c > d nao e possivel colocar totalmente dentro de um retangulo de
>altura "d" um quadrado de lado "c", qualquer que seja a largura do
>retangulo.
>
>Mostre que em nenhumas das regioes ( no maximo oito ) cabera o quadrado de
>lado "a"
>
>Se mesmo assim voce nao ficar satisfeito, voce deve saber que esta lidando
>com FORMAS e nao somente com NUMEROS. Ha algum tempo atras eu li um livro
>sobre FORMAS MODULARES no qual o autor mostrava como representar
>analiticamente ( por equacoes com diversos niveis de modulos ) as diversas
>figuras "lineares", tais como quadrados, losangos etc. Esta e a maneira
>mais
>geral, mas eu nao estou me lembrando agora destas equacoes e li tal livro
>em
>uma biblioteca.
>
>Bom, eu vou ficando por aqui ... Mesmo porque agora surgiu um problema
>legal
>: eu nao me lembro o autor e o titulo do livro acima e gosto de fazer
>experiencias mentais, trazendo para a memoria com clareza fatos ha muito
>vividos.
>
>Um abraco pra voce !
>Paulo Santa Rita
>5,1325,170102
>
>
>
>>From: Humberto Naves <hnaves@yahoo.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Probleminha
>>Date: Wed, 16 Jan 2002 21:12:43 -0300 (ART)
>>
>> Oi Pessoal,
>> Sou novo aqui na lista, e estou propondo um
>>probleminha legal que encontrei. Não o resolvi ainda,
>>tentei por Geometria Analitica e chegou numa
>>desigualdade, quando acabar mando a solucao (Como
>>posso mandar uma figura atraves da lista????).
>>Problema:
>> Prove que eh impossivel colocar dentro de um
>>quadrado de lado 1, dois quadrados de lados a e b, com
>>a+b>1, sem superposicao.
>> Esse problema foi proposto por P. Erdos e outro
>>matematico que naum me lembro!
>> Obrigado,
>> Humberto Silva Naves
>>
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