Vinganca Olimpica

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Está na home page da OBM a prova da vingança olímpica.
Tem uns problemas bem legais. Aqui três que sobreviveram
à tradução para texto sem dar muito trabalho a este preguiçoso tradutor:

(4 pontos) Seja ABCD um quadrilátero inscritível. P é o encontro das diagonais
e O é o circuncentro de ABCD. Sejam X e Y os circuncírculos dos triângulos ABO
e CDO, respectivamente. Sejam M e N os pontos médios dos arcos AB (de X) e CD
(de Y) que não passam por O. Prove que M, N e P são colineares.

(5 pontos) Ache todos os pares de inteiros positivos m, n tais que exista um
poliedro de modo que cada vértice do poliedro é vértice de exatamente três
faces poligonais regulares, uma de n lados e duas de m lados.

(6 pontos) Em uma festa do cabide, os convidados estão inicialmente com suas
respectivas roupas. Em um dado instante, o anfitrião escolhe um convidado e
esse convidado, junto com todos os seus amigos devem despir-se caso estejam
vestidos e colocar suas roupas caso estejam pelados. É possível que em um dado
instante, todos estejam nus? (observação: a amizade é uma relação recíproca)

Boa sorte, []s, N.