Re: triângulo

["Eduardo Wagner" <wagner@xxxxxxx>]

Um pedido simples:
Quando voces forem mostrar a solucao de um problema
seria bom deixar o enunciado incluido para que os
leitores da lista possam acompanhar.
Abracos.

----------
>From: "Ralph Teixeira" <ralph@fgv.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: triângulo
>Date: Fri, Jan 11, 2002, 18:36
>

>     Acho que a solução do Ricardo tem um probleminha algébrico (que,
> infelizmente, destrói a solução). Tem lá:
>
>>  a^(9^a)=b^a
>>  log(a) b^a = 9a --> "log de (b^a) na base a"
>
>     O lado direito tinha de ser 9^a.... e então o resto do raciocínio não
> pode ser feito. Eu mantenho a minha conjectura que não sai "algebricamente"
> (aliás, eu cheguei a "resolvê-la"... aí descobri que eu tinha errado
> álgebra)... Alguma outra idéia?
>
>     Aliás, eu achei que já tinha mandado algo sobre estas questões para a
> lista.... Ah, estou vendo aqui, eu acabei mandando um Reply só para o Eder.
> Então copio aqui minhas observações do E-mail que só o Eder viu.... :)
>
> ---///---
>
> 1)No triângulo ABC  C=3A (ângulos),a=27 e c=48.Quanto mede b?
>
> Ideia geral: use a Lei dos Senos para escrever uma equacao envolvendo
> sinA e sinC=sin3A (a e c sao conhecidos); desenvolva sin3A em funcao do
> sinA e resolva a equacao em sinA. Tendo o sinA (e portanto o cosA) voce
> conhece o triangulo todo, em particular conhece B=180-4A; entao use a
> Lei dos Senos de novo (agora b/sinB=a/sinA) para matar o problema.
>
> --//--
>
> Detalhes: usando a lei dos senos,
>
> asinC=csinA
> 27sin3A=48sinA
> 27(3sinA-4(sinA)^3)=48sinA
> sinA=0 ou 81-108(sinA)^2=48
>
> sinA=0 nao presta num triangulo... Entao:
>
> 108(sinA)^2=36
> (sinA)^2=36/108=1/3
> sinA=sqrt(3)/3 (num triangulo, sinA tem de ser positivo)
>
> Tambem, (cosA)^2=2/3 e entao cosA=sqrt(6)/3 (note que A tem de ser agudo
> pois C=3A>A).
>
> Bom, entao B=180-4A... Quero o sinB... Vejamos:
>
> sinB=sin4A=2sin2Acos2A
> Como sin2A=2sinAcosA=2sqrt(2)/3 e cos2A=2(cosA)^2-1=1/3, temos
> sinB=4sqrt(2)/9
>
> Enfim, b=sinB*(a/sinA)=4sqrt(2)/9*27sqrt(3) = 12sqrt(6).
>
> Vale a pena notar que este triangulo existe, jah que 48<27+12sqrt(6)~56.
>
> 2) Se (a^b)=(b^a) e b=(9^a),qual o valor de a?
>
> Essa eu nao sei.... Consegui mostrar que nao ha solucao com a=b (de
> fato, pode-se mostrar que a=x^a implica x=a^(1/a) e entao x<=e^(1/e)<9).
> Mas via graficos, ou numericamente, ve-se que hah uma solucao no outro
> "ramo" de a^b-b^a=0, que fica por volta de:
>
> a=1.246882666; b=15.48204923
>
> que nao sei encontrar algebricamente.... se eh que eh possivel. Meu
> palpite eh que nao dah nao, mas de repente hah um truque qualquer...
>
> Abraco,
>     Ralph
>