RE: ajuda em análise

[Ralph Teixeira <RALPH@xxxxxx>]

     Esse eh um exercicio bem bonito que eu vi pela primeira vez no livro de
Analise do Elon.... A ideia eh simples, mas mais facil de explicar com uma
figurinha.... Bom, eu explico a solucao e voce faz a figurinha, que tem os
conjuntos A e B, setas de A para B que representam f e setas de B para A que
representam G. :)

     Dado um elemento a0 de A, veja se hah um elemento b0 de B tal que 
g(b0)=a; entao veja se hah um elemento a1 de A tal que f(a1)=b0; entao veja
se hah um elemento b1 de B tal que g(b1)=a1; e assim por diante...
Basicamente, voce cria uma sequencia de elementos que estao alternadamente
em A e B usando alternadamente as inversas de f e g enquanto isso for
possivel (na figurinha, dah um zigue-zague no sentido contrario ao das
setas). Note que, como f e g sao injetivas, a escolha desta cadeia a partir
de um certo elemento eh unica. Tres coisas podem acontecer:


    i) Essa cadeia pode terminar num elemento an de maneira que nao existe
bn em B tal que g(bn)=an (talvez ateh logo no primeiro elemento a0). Neste
caso, defina h em toda a cadeia assim: h(a_i)=f(a_i). Note que eu cobri
todos os b's desta cadeia, e defini h para todos os a's dela...

    ii) Essa cadeia pode terminar num elemento bn de maneira que nao existe
an em A tal que f(an)=bn. Neste caso, defina h em toda a cadeia assim:
h(a_i)=g^(-1)(a_i)=b_i. Note que eu cobri todos os b's desta cadeia de novo,
e todos os a's foram usados pois todos eles tem inversos pela g.

    iii) Essa cadeia pode nao terminar nunca (sendo ciclica ou nao). Neste
caso, faca como quiser... Por exemplo, defina h(a_i)=f(a_i) como no caso
(i). Eu tambem cobri todos os a's e b's aqui.

    Pronto. Essa funcao h eh agora uma bijecao de A em B. De fato, todo
elemento b de B estah numa destas cadeias (na cadeia iniciada por g(b), por
exemplo), e portanto ela eh sobrejetiva. A injecao segue da "unicidade" da
cadeia: se voce comecar de b em B, a cadeia iniciada por g(b) eh unica, e
deve terminar num elemento de A ou de B, e portanto obedece apenas a um dos
casos anteriores.

    Minha explicacao eh mais complicada do que a ideia.... Funcionou?

    Abraco,
         Ralph



-----Original Message-----
From: haroldo
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: 1/6/02 5:59 PM
Subject: En: ajuda em análise

 
-----Mensagem original-----
De: haroldo < divaneto@uol.com.br <mailto:divaneto@uol.com.br> >
Para: obm-I@mat.puc-rio.br <mailto:obm-I@mat.puc-rio.br>  <
obm-I@mat.puc-rio.br <mailto:obm-I@mat.puc-rio.br> >
Data: Domingo, 6 de Janeiro de 2002 18:34
Assunto: ajuda em análise


Saudações a todos .
Alguém poderia me ajudar na seguinte questão :
Dados os conjuntos A e B , suponha que existam funções injetivas f: A ->
B e g: B->A . Prove que existe uma bijeÇão h:A->B.