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Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
Ola Andre, Bruno e
demais colegas desta lista,
Os conceitos de COMPLETUDE e CONSISTENCIA nao sao antagonicos em si ...
No seculo XIX e anteriores o conceito de SISTEMA FORMAL ainda nao estava
suficientemente maduro e as tenues formalizacoes que se conheciam e se
tentavam pressupunham a CONSISTENCIA e a COMPLETUDE meramente por um FE mal
formulada ...
Mas claramente que foi e é um ideal a ser perseguido que todo SISTEMA FORMAL
construido seja CONSISTENTE e COMPLETO :
1) Todos querem que as afirmacoes sobre os objetos do sistema sejam
demonstraveis com os recursos de inferencia do proprio sistema ( COMPLETUDE
)
2) Todos querem que nao seja possivel provar uma afirmacao e a sua negacao (
CONSISTENCIA )
Ser simultaneamente CONSISTENTE e COMPLETO, mais que um mero desejo ou
opcao, e uma necessidade de todo SISTEMA FORMAL : ou ele encerra estas duas
qualidades ou ele e inaceitavel.
Ve-se portanto que CONSISTENCIA e COMPLETUDO nao sao propriedades a priori
antagonicas. Conviverem harmoniosamente e o ideal de Todo Sistema formal !
Nos hoje sabemos que sao propriedades antagonicas em todo sistema formal que
possa a ser parafraseado ou reduzido a Aritmetica.
Voce entende quando dizemos LIM Xn=A ? Voce dira que SIM ! E vai apresentar
a definicao classica ( dada por Cauchy ) :
Qualquer que seja epsilon maior que zero, existe N0 tal se N for maior que
N0 entao modulo( Xn - a) e menor que epsilon.
O que voce fez ? Reduziu ou parafraseou um conceito complicado de analise (
Limite ) atraves de propriedades sobre os numeros : Aritmetizou a Analise. E
assim que os Matematicos faziam e se davam por satisfeitos.
Bertrand Russel foi mais alem. Ele procurou "logicizar" a Aritmetica. Na
cabeca dele as coisas funcionavam mais ou menos assim : Dado que toda a
Matematica pode ser reduzida a Aritmetica, vou reduzir toda a Aritmetica a
Logica e, com isso, mostro que toda a Matematica nao passa de um
desenvolvimento da Logica. Ele publicou tres famosos livros neste sentido.
"Os Principia" da Logica. Foi em cima deste trabalho de Russel que Godel
trabalhou ...
Godel tinha "bagagem" para pareciar o Sentido Cultural de seu trabalho...
Godel, Como Penrose e Poincare, alem de Matematico, pertencia tambem ao
"Circulo de Viena" ( Matematicos que se reuniam em Viena e discutiam sobre a
Filosofia e Historia da Ciencia. Criaram o Positivismo Logico. Rudolf
Carnap, entre outros, era do Grupo. Leia "Os Pensadores - Circulo de Viena "
) e era amigo de Einstein. Gostava de Fisica e Filosofia. O titulo do
trabalho dele foi mais ou menos assim : "Sobre os Sistema formais do
Principia Matematica e Sistemas Correlatos"
Godel explicitamente afirma que foi inspirado pelo PARADOXO DE RICHARD.
O que ele fez, em sintese, foi mostrar que toda afirmacao sobre os numeros
pode ser transfomada em um numero e, a seguir, aplicar uma variante do
Paradoxo de Richard. O Livro de james Newman, "O teorema de Godel", e muito
bom neste sentido.
Mas o Livro de Newman e de divulgacao e voce apenas entende as coisas mais
ou menos. A melhor referencia (e que te estimulo a consultar ) sobre o
teorema de Godel e outros resultados interessantes estao em "O teorema de
Godel e a Hipotese do Continuo", de uma Fundacao Portuguesa cujo nome nao me
ocorre agora ( talvez seja Fundacao karlouse Gurbeijhan ou algo parecido ).
Todo os pre-requisitos para entender o Teorema de Godel e os demais
resultados estao no proprio livro.
Dizem que quando Von Newman soube do resultado de Godel, cancelou tudo que
ia fazer so para estudar o teorema e muitos outros Grandes matematicos da
epoca proclamaram ( como proclamam ) que o resultado foi revolucionario na
mais ampla expressao deste termo.
Se voce me permite uma opiniao, o resultado de Godel foi mais importante e
revolucionario que a teoria da relatividade e so a Mecanica Quantida pode
rivalizar, em importancia, com ele. Mas isto e apenas uma opiniao ...
Godel, Einstein, Newton, Descartes, Gauss, Heisemberg, entre uns poucos
outros, sao pessoas nas quais muitas de suas investigacoes ( e portanto de
suas inquietacoes ) se situam nas fronteiras entre a Ciencia e a Filosofia.
Eles sao Matematicos-Filosofos e os seus trabalhos mais importantes "Tocam
Fundo" em nossos valores e pressuposicoes ja arraigadas.
O Teorema de Godel nao "TOCOU BAGUNCA NA MATEMATICA"... Pelo Contrario,
quando a maioria queria reduzir esta ciencia a um jogo logico de simbolos
sem sentido ( projeto formalista ), ele mostrou que entre o ceu do ideal
formalista e a terra da realidade matematica, havia muito mais aspectos a
serem considerados do que pressupunha a vao filosofia deles.
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1439,171201
>From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
>Date: Sat, 15 Dec 2001 00:15:02 -0200
>
>At 17:56 14/12/01 -0300, you wrote:
>>vc disse sobre as propriedades do sistema formal e
>>sobre a consistencia e a completude.Como vc encara o
>>antagonismo das duas últimas???Vc apenas sabe o que
>>Godel provou ou ENTENDE BEM o que ele demonstrou???è
>>uma coisa de fácil entendimento como 2+2=4,ou ele
>>demonstrou de forma dificil de se entender e vc só
>>memorizou o resultado??Vc está entendendo o que quero
>>dizer??O que quero falar se isso é uma coisa clara
>>,lógica ,que está na cara ,ou um resultado avançado.
>
>Metendo-me na conversa:
>
>Acho que o teorema de Gödel não é difícil de se entender (talvez entender
>bem o papel da "aritmética de Peano" no enunciado seja o mais confuso), mas
>a demonstração é bem complicada.
>
>Bruno Leite
>
>
>>--- Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> escreveu: >
>>Ola Rogerio e demais
>> > colegas desta lista,
>> >
>> > E importante que se compreenda corretamente o que e
>> > um SISTEMA FORMAL e o
>> > que vem a ser COMPLETUDE e CONSISTENCIA num tal
>> > sistema. Estes sistemas tem,
>> > a grosso modo :
>> >
>> > 1) Objetos indefinidos ( ou primitivos )
>> > 2) proposicoes primitivas ( ou axiomas, ou
>> > postulados )
>> >
>> > NAO SE PODE ATRIBUIR AOS OBJETOS PRIMITIVOS NENHUMA
>> > PROPRIEDADE DITADA POR
>> > UMA EVENTUAL REPRESENTACAO MENTAL E INTUITIVA QUE
>> > TENHAMOS DELES. Tudo que
>> > se falar sobre os objetos deve ser uma consequencia
>> > logica dos axiomas e dos
>> > teoremas que ja tenhamos demonstrado. Pode-se
>> > construir novos objetos em
>> > estrita obediencia as regras de construcao.
>> >
>> > 1)Um sistema formal e CONSISTENTE se nao for
>> > possivel provar uma afirmacao e
>> > a sua negacao, isto e, exemplificando, se eu provar
>> > que "A e B" eu nao
>> > poderei provar que "A e nao B"
>> >
>> > 2)Um sistema formal e COMPLETO se todas as
>> > afirmacoes sobre os objetos puder
>> > ser provada com os recursos de inferencia do proprio
>> > sistema, isto e, nao
>> > pode haver uma propriedade usufruida por alguns
>> > objetos do sistema que seja
>> > indemonstravel com os recursos de inferencia do
>> > sistema.
>> >
>> > Em geral, criar uma sistema formal e, em geral, um
>> > dos objetivos perseguidos
>> > para qualquer ramo da matematica, sobretudo quando
>> > ele ja esta
>> > suficientemente maduro e ja deu bons resultados.
>> >
>> > A grosso modo, o que Godel mostrou e que os dois
>> > conceitos acima, de
>> > COMPLETUDE e INCONSISTENCIA, sao antagonicos para
>> > qualquer sistema formal
>> > que use minimos recursos da Aritmetica, isto e :
>> >
>> > "Se o sistema formal for COMPLETO, isto e, toda
>> > afirmacao sobre os objetos
>> > do sistema puderem ser demonstradas com os recursos
>> > de inferencia do
>> > sistema, entao ele sera INCONSISTENTE, vale dizer,
>> > nos seremos capazes de
>> > provar uma teorema e a negacao dele; Se, por outro
>> > lado, o sistema formal
>> > for CONSISTENTE, isto e, se nunca poder acontecer de
>> > provarmos um teorema e
>> > a sua negacao, entao ele sera INCOMPLETO, vale
>> > dizer, haverao propriedades
>> > validas dos objetos do sistema que nos nao seremos
>> > capazes de provar com os
>> > recursos de inferencia do proprio sistema."
>> >
>> > Nao existe Teorema da Completude na Geometria
>> > Euclidiana. Nao no sentido de
>> > COMPLETUDE de um sistema formal. Hilbert mostrou que
>> > a geometria euclidiana
>> > seria consistente, se a algebra tambem fosse. Mas a
>> > consistencia da Algebra
>> > depende da Aritmetica e a prova da consistencia
>> > desta ultima parece muito
>> > dificil de ser conseguida ...
>> >
>> > Ate parece, numa primeira apreciacao, que o Teorema
>> > de Godel e algo ruim e
>> > negativo... Ele sulapou o sonho de Hilbert e de
>> > todos os Matematicos
>> > formalistas, que com seus sistemas formais, tiravam
>> > o sentido intuitivo que
>> > damos aos objetos matematicos, reduzindo a
>> > Matematica a um jogo logico sem
>> > graca, sem semantica e sem sentido.
>> >
>> > Observe que COMPLETUDE e CONSISTENCIA sao
>> > propriedade DO SISTEMA FORMAL, nao
>> > de um de seus objetos : sao portanto propriedades do
>> > TODO. Visto por este
>> > angulo, Godel mostrou que o TODO tem propriedades (
>> > consistencia, completude
>> > ) que sao inacessiveis ou inesplicaveis pela mera
>> > consideracao das partes
>> > que o compoe O TODO, isto e, O TODO E MAIS QUE A
>> > MERA SOMA DAS PARTES. O
>> > cara formalista pressupoe justamente o contrario.
>> > Ele pensa que conhecendo
>> > bem as partes ( axiomas, teoremas, objetos
>> > indefinidos ) vai poder explicar
>> > ( demonstrar ) tudo que aparecer ou ocorrer na
>> > frente dele. E o SONHO
>> > EISNTENIANO de encontrar UM CONJUNTO DE EQUACOES QUE
>> > EXPLICAM TODO O
>> > UNIVERSO.
>> >
>> > Godel, nos permitiu comecar a pensar NO SENTIDO, NA
>> > SEMANTICA, NO FIM, NA
>> > FUNCAO, NO PAPEL, NA INTERPRETACAO TELEOLOGICA, como
>> > algo mais que mera
>> > filosofia barata. Se se retirar o sentido das
>> > coisas, as coisa perdem o
>> > sentido. Agora, como articular de forma consistente
>> > e seria este sentido ?
>> >
>> > Todos os danos que estamos causando ao mundo
>> > natural, que vem ha anos
>> > preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam
>> > de nossa ignorancia com
>> > respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O ideal
>> > seria que nos nos
>> > relacionassemos com a natureza respeitando os seus
>> > acontecimentos ou o papel
>> > que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta
>> > linguagem, como sempre, e
>> > a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema de
>> > Godel o primeiro passo
>> > neste sentido.
>> >
>> > Um abraco
>> > Paulo Santa Rita
>> > 6,1500,141201
>> >
>> >
>> >
>> > >From: "Rogerio Fajardo"
>> > <rogeriofajardo@hotmail.com>
>> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> > >To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> > >Subject: Completude da Geometria e Teorema de Godel
>> > >Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 +0000
>> > >
>> > >Olá,
>> > >
>> > > O que diz o teorema da completude da geometria
>> > euclideana? Alguns livros
>> > >chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e
>> > parece que diz que todos os
>> > >modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre
>> > si. Mas isso não
>> > >implica
>> > >que não existe sentenças independentes na geom.
>> > euclideana? E isso não
>> > >contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria
>> > eu posso expressar a
>> > >aritmética)?
>> > >
>> > >Rogério
>> > >
>> > >
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